《材料力学》课程教学课件（讲稿）第4章 弯曲内力 4.3 梁的内力与载荷集度间的微分关系

材料力学第7章弯曲内力弯曲的概念和梁的计算简图梁的内力计算与内力图梁的内力与载荷集度间的微分关系叠加原理、反问题分析静定多跨梁、刚架、曲杆的内力图

第 7 章 弯曲内力  弯曲的概念和梁的计算简图  梁的内力计算与内力图  梁的内力与载荷集度间的微分关系  叠加原理、反问题分析  静定多跨梁、刚架、曲杆的内力图

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系FyMen M(x)+dM(x)mM(x)mn(nm0x8.4Fs(x)mnFs(x)+dFs(x)TTq(x)dxxq(x)ZF, =0 Fs(x)-[Fs(x)+dFs(x)+q(x)dx=0剪力图上某点处的切线dFs(x)d Fs(x)= q(x)d x儿g(x斜率等于该点处荷载集dx度的大小ZMc=0略去[M(x)+d M(x)]- M(x)- F(x)dx-q(x)da=0弯矩图上某点处的dM(x)d M(x)= Fs(x)d xFs(x)切线斜率等于该点dx处剪力的大小

m m C n n q(x) ∑Fy = 0 ( ) q(x) x F x = d d S ∑MC = 0 ( ) F (x) x M x S d d = d F (x) q(x)d x S = [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 0 2 d d d d + − − S − ⋅ = x M x M x M x F x x q x x d M (x) F (x)d x = S FS (x)−[FS (x)+ d FS (x)]+ q(x)d x = 0 m m n n FS(x) M(x) O y F x Me q(x) x dx FS(x)+dFS(x) M(x)+dM(x) 略去 梁的内力与载荷集度间的微分关系 剪力图上某点处的切线 斜率等于该点处荷载集 度的大小 弯矩图上某点处的 切线斜率等于该点 处剪力的大小

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系FyMe福xom-q(x)q(x)、Fs(x)、M(x)间的微分关系:dF,(x)= q(x)d? M(x)dx= q(x)dx?dM(x)= Fs(x)dx其中分布荷载集度g(x)以向上为正，向下为负

( ) q(x) x M x = 2 2 d d ( ) q(x) x F x = d d S ( ) F (x) x M x S d d = q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系: 其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。 O y F x Me q(x) 梁的内力与载荷集度间的微分关系

材料力学剪力、弯矩与外力间的关系集中力均布载荷段集中力偶无均布载荷段外力mF个个个11!q=0cCq>0q0Fs<0自左向右折角曲线斜直线自左向右突变MM2图特征xX?xm逆向上m顺向下M1MMMMMV增函数降函数折向与F同向M, - M2=mFs=0时有极值

剪力、弯矩与外力间的关系 外力 无均布载荷段 均布载荷段 集中力 集中力偶 q=0 q>0 q0 FS <0 x 斜直线 增函数 x x 降函数 x C 自左向右突变 x C 无变化 斜直线 x M 增函数 x M 降函数 曲线 x M x M 自左向右折角自左向右突变 x M 折向与F同向 M x M1 M2 Fs = 0时有极值 M1 − M2 = m m 逆向上 m 顺向下

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确：2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1.求支座反力：2：分段确定剪力图和弯矩图的形状3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4. 确定Fsmax和Mmax分段定形定点→连线

利用以上特征 1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确； 2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关 系直接绘制剪力图和弯矩图。 利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤： 1．求支座反力； 2．分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和 弯矩图； 4．确定 FS max 和 M max 。 梁的内力与载荷集度间的微分关系 分段 定形 定点 连线

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值积分关系：dM(x)dF(x)F.(x)g(x)dxdx:. dF,(x) = q(x)dx:. dM(x) = F,(x)dxM2dM(x) = (" F,(x)dxdF(x) = ( q(x)dxJM,:. Fs2 - Fs1 = J q(x)dx.. M, -M = (" F,(x)dxS2梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间载荷图差等于两截面间剪力图所包围的面积所包围的面积

利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值 ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∴ − = = ∴ = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d s2 s1 s s s x x x x Q Q F F q x dx dF x q x dx dF x q x dx q x x F x  ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∴ − = = ∴ = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 2 1 x x s x x s M M s s M M F x dx dM x F x dx dM x F x dx F x x M x  梁上任意两截面的剪力 差等于两截面间载荷图 所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩 差等于两截面间剪力图 所包围的面积 积分关系: 梁的内力与载荷集度间的微分关系

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。=3qa2M.R+BXa3a

B 3a A C Me =3qa2 a x q 试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分 关系作图示梁的剪力图和弯矩图。 梁的内力与载荷集度间的微分关系

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系M。 =3qa?CBCxmFAF3a解：1、求支反力ZMg=03qa2+q×2a×a-F×3a=0ZMA=0F ×3a+3qa2-q×2a×2a= 051FFqa=qa一一AB3

解：1、求支反力 FA qa 3 5 = FB qa 3 1 = 0 ∑ MB = 0 ∑ M A = 3 2 3 0 2 qa + q× a× a − FA × a = 2 33 22 0 F a qa q a a B × + −× × = FA FB B 3a A C Me =3qa2 a x q 梁的内力与载荷集度间的微分关系

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系2、根据微分关系及截面内力作剪力图5FFa==qaMe =3qa2=5gaAC段： =0R3IB剪力图为水平直线ARLCxom5x剪力值F=_qaAFaR3aCB段：g=常量<05qa/3剪力图为斜直线Fs④5Lqa二39SC8a/3 ga/3 x1FqaSB3

AC段： q=0 剪力图为水平直线 剪力值 F qa 3 5 S = 2、根据微分关系及截面内力作剪力图 FS 5qa/3 x qa/3 8a/3 x FA FB B 3a A C Me =3qa2 a x q CB段：q=常量<0 剪力图为斜直线 F qa 3 5 SC = F qa B 3 1 S = − 梁的内力与载荷集度间的微分关系 F qa A 3 5 = F qa B 3 1 =

材料力学梁的内力与载荷集度间的微分关系53、作弯矩图FF=jqa5qa/B =3qα?MeqBAC段2cxOma弯矩图一斜直线今F3aB5qa/3FsCB段+弯矩图一二次抛 8a/3qa/3 x物线4qa2/3om+xqa?/18MI5qa?/3

3、作弯矩图 AC段 弯矩图→斜直线 5qa2/3 qa2/18 M x 梁的内力与载荷集度间的微分关系 F qa A 3 5 = F qa B 3 1 = FA FB B 3a A C Me =3qa2 a x q FS 5qa/3 x qa/3 8a/3 CB段 弯矩图→二次抛 物线 4qa2/3