《材料力学》课程教学课件（讲稿）第5章 弯曲应力 5.3 梁的合理设计

T第5章弯曲应力纯弯曲应力分析及强度设计横力弯曲正应力分析及强度设计横力弯曲切应力分析及强度设计梁的合理设计

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics □ 纯弯曲应力分析及强度设计 □ 横力弯曲正应力分析及强度设计 □ 横力弯曲切应力分析及强度设计 □ 梁的合理设计 第 5 章 弯曲应力

TⅡ、梁的切应力强度设计细长梁的强度设计主要取决于正应力，但在以下情况下，需校核梁的切应力：1．梁的跨度较短，最大弯矩较小，最大剪力很大：2．焊接、铆接或胶合的组合截面钢梁，横截面腹板厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值3．横弯木梁：因木材顺纹剪切强度差，横弯时可能在中性层面上因切应力过大而破坏，4．焊接、铆接或胶合而成的组合截面梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行剪切计算

Beijing Jiaotong University Ⅱ、梁的切应力强度设计 Institute of Engineering Mechanics 细长梁的强度设计主要取决于正应力，但在以下 情况下，需校核梁的切应力： 1. 梁的跨度较短，最大弯矩较小，最大剪力很大； 2. 焊接、铆接或胶合的组合截面钢梁，横截面腹板 厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值； 3. 横弯木梁：因木材顺纹剪切强度差，横弯时可能 在中性层面上因切应力过大而破坏； 4. 焊接、铆接或胶合而成的组合截面梁，对焊缝、 铆钉或胶合面等，一般要进行剪切计算

T横力弯曲一一-切应力I、梁横截面上的切应力Ⅱ、梁的切应力强度条件剪应力的产生

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics Ⅰ、梁横截面上的切应力 横力弯曲-切应力 Ⅱ、梁的切应力强度条件

I、切应力计算T矩形截面梁一q(x)FbHmnh7MmdxTOxnmnmM(xnmzmM(x)+d M(x)7hxFs(x)Fs(x)+d Fs(x)B4mnmnmdxb

Beijing Jiaotong University 一、矩形截面梁Institute of Engineering Mechanics m m n n q(x) F1 F2 x dx b h z y h m' m n' n n m' m dx b z y O x FS(x) M(x) M(x)+d M(x) FS(x)+d FS(x) m n m n m' n' y z y A B A1 σ dA Ⅰ、切应力计算

I、切应力计算T矩形截面梁横截面上纵向力不平衡意味0V1七A1BidF着纵截面上有水平剪力，即有水平切应力分布。dA0-C4*dFs = Fn2 - FNIFmN1N2nmy6横截面上纵向力的大小：dxMMMySFni =,o,dA=[dT1面积A,Amm'对中性轴z的静矩M+dM(M +dM)S:FN2 = f,02 dA=(idA=1

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 横截面上纵向力不平衡意味 着纵截面上有水平剪力，即 有水平切应力分布。 * N1 * d FS ′ = FN2 − F * 1 1 1 * N1 * * * d d d z z A z A z A S I M y A I M A I My F = A = = = ∫ ∫ ∫ σ * 2 1 * N2 d d ( d ) d * * z z A z A S I M M y A I M M F A + = + = = ∫ ∫ σ 面积A1Amm' 对中性轴 z的静矩 横截面上纵向力的大小: m n m' y1 A B A1 B1 dx σ dA y z O * FN2 d FS ′ * FN1 x Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁

I、切应力计算T矩形截面梁IMsHN11福V4BidF!M+dM*sN2Z.dA-DVFFm平衡:N1N2nmVdxdF' = Fn2 - FNiZF,=0dMdF!S纵截面上水平剪力：SI尚不能确定水平切应力T，还需要补充条件！

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics ∑ = 0 Fx * N1 * S N2 d F′ = F − F * S d d z z S I M 纵截面上水平剪力: F′ = * * N1 z z S I M F = * * N2 d z z S I M M F + = 尚不能确定水平切应力τ ' , 还需要补充条件! Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁 m n m' y1 A B A1 B1 dx σ dA y z O * FN2 S d F′ * FN1 x 平衡:

I、切应力计算T矩形截面梁一、(窄高)矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：(1)横截面上各点处的切应力均与侧边平行(2)横截面上距中性轴等距各点处的切应力大小相等nm根据切应力互等定理：nmT'=TxB可以认为：BA(1）t沿截面宽度方向均匀分布：mn服m(2)在dx微段长度内t 没有变化。dxb

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics (窄高)矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设： (1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行； (2) 横截面上距中性轴等距各点处的切应力大小相等。 根据切应力互等定理: τ ′ = τ 可以认为： (1) τ' 沿截面宽度方向均匀分布； (2) 在dx微段长度内τ' 没有变化。 Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁 m' m n' n n m' m dx b y τ τ' A1 A B B1 h z y O x

I、切应力计算T矩形截面梁IdF$ =tbdx福LV1XBidF!dM*SdF!又SZ1dA-QNZ*F因此:FmN1N2nmsFsS.dMdxZXTI,b1,bdxNN剪切互等：FsST二I,b

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics * S d d z z S I M F′ = I b F S I b S x M z z z z * S * d d τ ′ = × = I b F S z z * S τ = d F bd x S ′ = τ ′ 剪切互等： 又 因此: Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁 m n m' y1 A B A1 B1 dx σ dA y z O * FN2 S d F′ * FN1 x

I、切应力计算T矩形截面梁一5矩形截面梁弯曲切应力计算公式hFsS.T1.b2其中:Fs→横截面上的剪力dAVI，一→整个横截面对于中性轴的惯性矩；b一→与剪力垂直的截面尺寸，此处为矩形的宽度S*一→横截面上切应力待求点处横线以外部分面积对中性轴的静矩

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 其中： FS→ 横截面上的剪力； Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩； b → 与剪力垂直的截面尺寸，此处为矩形的宽度； I b F S z z * S τ = 矩形截面梁弯曲切应力计算公式： z y y y 1 d A * Sz → 横截面上切应力待求点处横线以外部分面积对 中性轴的静矩。 Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁 b

I、切应力计算T矩形截面梁一、FsS矩形横截面上弯曲切应力的变化规律：T1.bydAbhh/2b=1y+222Tmax6n2dA2hFFhbS2SXT24I,b214Fsh?FshFs3F3SXTmax22A3/12bh818×(bh3

Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2 2 2 4 b h y   = −             = −         = × − 2 2 2 S 2 S 2 4 2 4 y h I F y b h I b F z z τ 矩形横截面上弯曲切应力的变化规律： I b F S z z * S τ = Ⅰ、切应力计算 一、矩形截面梁 z y y y 1 d A / 2 2 2 h hy b yy    − =− +       * * 1 d z A S yA = ∫ τmax ( ) A F bh F bh F h I F h z 2 3 2 3 8 8 12 S S 3 2 S 2 S max = × = × τ = = b