《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams §6-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve）

弯曲变形(Deflection of Beams)S6-2挠曲线的微分方程(Differentialequation ofthedeflection curve)一、推导公式（Derivationoftheformula）1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationshipbetweenthecurvature of beam and the bending moment)MEIP横力弯曲时，M和p都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则M(x)EIpx)

(Deflection of Beams) §6-2 挠曲线的微分方程 （ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula) 1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment） 1 M  EI = 横力弯曲时, M 和  都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则 1 ( ) ( ) M x  x EI =

弯曲变形Deflection of Beams2.由数学得到平面曲线的曲率(The curvaturefromthemathematics)(1 + w"2)M(x)EI112)7

(Deflection of Beams) 2.由数学得到平面曲线的曲率 （The curvature from the mathematics）  = +  w w 3 2 2 1 (1 )   = +  w M x EI w 3 2 2 | | ( ) (1 )

弯曲变形(Deflection of Beams在规定的坐标系中x轴水平向右wMM为正，w轴竖直向上为正0xM>0曲线向下凸时：W">0M>0w">0曲线向上凸时：w<0M<0wMM因此，w"与M的正负号相同x0M<0w"<0

(Deflection of Beams) 在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向上凸时: O x w x O w w M    0 0 因此, w 与 M 的正负号相同 0 0 M w    曲线向下凸时: w M    0 0 0 0 M w    M M M M

弯曲变形(Deflectionof BeamsM(x)w'3EI(1 + w2)2w2与1相比十分微小而可以忽略不计，故上式可近似为M(x)(6.5).EI此式称为梁的挠曲线近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve)(2)1略去了W2项；近似原因：（1）略去了剪力的影响；(3) 0~ tan0=w=w'(x)

(Deflection of Beams) 此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） (6.5) 3 2 2 ( ) (1 ) w M x EI w  = +  ( ) " M x w EI = 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 项; （3） 2 w    = = tan ( ) w w x   w  2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为