《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams（知识3）直接积分法

6-2直接积分法dyv(x）挠度曲线方程0 dxdv =tan 0~0= v(x)dx(x)转角方程M挠度曲线EI0M (x)挠曲线v"(x)x(1+v"2)3/2EI基本微分方程M(x)El zv'(x)= / M(x)dx +Cv'(x)dx +CEI7EIzv(x)= [[ M(x)dxdx +Cx+ DM(x)dxdx +Cx + Dv(x) =Elz边界条件已知的挠度和转角

v(x) 挠度曲线方程  (x) 转角方程 tan v ( x) dx dv         dv   dx E Z I M   1 2 3 2 (1 ) 1 v v      v (x) Z E I M x v x ( ) ( )  挠曲线 基本微分方程    dx  C EI M x v x Z ( ) ( ) dxdx Cx D EI M x v x Z     ( ) ( )  EI Z v ( x)  M ( x)dx  C  EIZ v(x)  M (x)dxdx Cx  D 边界条件 已知的挠度和转角 6-2 直接积分法  挠度曲线 v 

例6-1求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角解：弯矩方程M(x）=EI+x°dx+C=-_gxElzv(x)=-[%+（6gx[9xdx+Cx+D=Elzv(x) =+Cx+D246边界条件：gl3qlD=x=l:V=0,V'=086-q9(314- 413x + x4)v(x) :Vox24EI6EIqlq0Vmaxmaxmax8EI6EI

例6-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角 解： 2 2 ( ) x q 弯矩方程 M x   C qx x dx C q EI v x Z         2 6 ( ) 3 2 Cx D qx x dx Cx D q EI v x Z          6 24 ( ) 4 3 边界条件： x  l : v  0 , v   0 6 3 ql C  8 4 ql D   (3 4 ) 24 ( ) 4 3 4 l l x x EI q v x z     ( ) 6 ( ) 3 3 l x EI q v x z    x l q EIz ( ) 8 4 max    E z I ql v ( ) 6 3 m max ax E z I ql v    

解：R,=Fb/lR = Fa/lFb(0<x<a)M(x)= R,x=R.M,(x)=Rx-F(x-a)=RBFbFb-x-F(x-a)(a<x<l)EIzV21边界条件FbEIzV121x=0:V=0,x=1:V=0连续条件FbEIzV1+Cx+Dx61x = α: V' = V2, V = V2Fb得 D,= D, = 0EIzVx61FbCf = C2 =:+Cx+D,61

解： R Fb l A  R Fa l B  x l Fb M x R x 1 ( )  A  ( 0＜ x ＜ a ) M 2 (x)  RA x  F (x  a)  x F (x a) l Fb    ( a ＜ x ＜ l ) 1 2 1 2 x C l Fb EI vZ    1 1 3 1 6 x C x D l Fb EI vZ    边界条件 a b F RA RB l 0: 0, : 0 x  v1  x l v2  1 2 1 2 x  a : v   v  , v  v 连续条件 3 3 2 ( ) 6 6 x a F x l Fb EI vZ    2 D2  C x  2 2 2 2 ( ) 2 2 x a C F x l Fb EI vZ      得 0 D1  D2  ( ) 6 2 2 1 2 l b l Fb C  C   

Fbx(x2-12 + b2)61EIBFb-(x-a)3-x(12 -b2)-XV61Elz奇异函数法EIv" = M(x)= R,x-FHx-x-aHbEI0x-a"+C26x-a)"+Cx+DElvL61边界条件x=0:V=0,x=1:V,=0Fb得 D=0(12 -b26

( ) 6 2 2 2 1 x x l b l EI Fb v Z    [ ( ) ( ) ] 6 3 2 2 3 2 x a b l x x l b l EI Fb v Z      a F v1 v2 A B C b 奇异函数法 Fx F x a l b M x R x F x a EIv   ( )  A      Fx F x a C l b EI     2 2 2 1 2  Fx F x a Cx D l b EIv      3 3 6 1 6 边界条件 0 : 0 , : 0 x  v1  x  l v2  得 D  0 ( ) 6 2 2 l b l Fb C   

讨论：最大挠度bRBM7极值点在AC段a>bb→0Fb形成一个力偶M[12 - b2极值点x。=1/V3=0.5771XoM ?3max9/3EIFby[(12-b2)DMI?max9/3EIzl中点挠度V中16EI相对误差极值点在C点a=bF13V~中% = 2.64%maxVmax48EIVmax

a＞b 极值点在 AC 段 ( ) 9 3 ( ) 2 2 3 max    EI l Fb l b v Z a  b 极值点在 C 点 ( ) 48 3 max   E Z I Fl v b0 Fb 形成一个力偶 M 极值点 x l 3 0.577 l 0   3 2 2 0 l b x   ( ) 9 3 2 max   E Z I Ml v 中点挠度 E Z I l Ml v v 16 ) 2 2 中  （1  相对误差 中 ％ 2.64％ max max    v v v  a F v1 v2 A B C b a A B b F M 讨论：最大挠度