《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 扭转 Torsion §3-3 薄壁圆筒的扭转

$3-3薄壁圆简的扭转(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)薄壁圆筒：壁厚Sr（ro一圆筒的平均半径)10一、应力分析（Analysisofstress1.实验前（1）画纵向线，圆周线Gx(2））施加一对外力偶>2.实验后MM（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动：(2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；德（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形

§3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels) 1.实验前 （1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶. 一、应力分析 (Analysis of stress) 薄壁圆筒：壁厚 （r 0 0—圆筒的平均半径） 10 1   r dx x Me Me 2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动； （2）各纵向线均倾斜了同一微小角度  ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形

3.推论(Inference)MeM(1)横截面上无正应力，只有切应力；（2）切应力方向垂直半径或与圆周相切D圆周各点处切应力的方向于圆周相切，Y且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化Bdx

3.推论(Inference) （1）横截面上无正应力，只 有切应力； （2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切. dx δ   圆周各点处切应力的方向于圆周相切, 且数值相等, 近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化. Me Me A B D C

4.推导公式（Derivationofformula)tdA·r=t.dA= T·r(2元·r·S)=TTT=2元r2.此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直。指向与扭矩的转向一致

此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式. 4.推导公式(Derivation of formula)  =  =    = ( )   d d 2π A A     A r r A r r T    = 2 2πr T 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布, 与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致. T τ τ

二、切应力互等定理（ShearingStressTheorem）1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力其方向于轴平行，由平衡方程EF,=0两侧面的内力元素tdydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶dx其矩为（dydz）dx

d x y dx y z 二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem) τ τ 1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, 其方向于 y 轴平行. 两侧面的内力元素 dy dz 大小相等,方向相反,将组成一个力偶. 由平衡方程 Fy = 0 其矩为( dy dz) dx

2.要满足平衡方程ZF=0EM,=0单元体的前、后两表面为自由面在单元体的上、下两平面上必有山7大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为（t'dxdz)d)dx数量相等而转向相反，从而可得此力偶矩与前一力偶矩（tdydz）dx=T-3.切应力互等定理（Shearingstresstheorem）单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线

x y dy z dx τ τ 2. 要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得 ( dy dz) dx  = 0  = 0 Mz Fx ( d d )d   x z y   =     3.切应力互等定理(Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, 且大小相 等,都指相（或背离）该两平面的交线. 单元体的前、后两表面为自由面

2.要满足平衡方程EM,=0 F=0在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为（t'dxdz)dy此力偶矩与前一力偶矩（Tdyd）dx数量相等而转向相反，从而可得dxT'=T3.切应力互等定理（Shearingstresstheorem）单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线4.纯剪切单元体（Elementinpureshear）单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体

x y dy z dx τ τ 2. 要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得 ( dy dz) dx  = 0  = 0 Mz Fx ( d d )d   x z y   =     3.切应力互等定理(Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在, 且大小相 等,都指相（或背离）该两平面的交线. 4.纯剪切单元体(Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力, 则称为纯剪切单元体

三、剪切胡克定律(Hooke's law for shear)CMM由图所示的几何关系得到式中，r为薄壁圆筒的外半经薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶M在某一范围内时，与M。（在数值上等于T）成正比

Me Me l 式中, r 为薄壁圆筒的外半经.  三、剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) 由图所示的几何关系得到 薄壁圆筒的扭转试验发现, 当外力偶Me 在某一范围内时, 与 Me （在数值上等于T ）成正比. l r  = 

TroTA2元r28从T与@之间的线性关系，可推出与间的线性关系(<0.2°)T=GY09该式称为材料的剪切胡克定律T(Hooke'slawforshear)G一剪切弹性模量EG=三个弹性常数的关系02(1 + μ)y

三个弹性常数的关系 T O  从 T 与  之间的线性关系,可推出 与 间 的线性关系. 该式称为材料的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear) G –剪切弹性模量 l r r T     = = 2 2π  = G 2(1+ ) = E G O   ( ) O   0.2

ET=G=EG2(1 + μ)T=OG= EE=E82(1 +μ) = 2(1 +μ)c = 2(1+u)10-3 ~ 0.20E=E82(1 + μ)

 = G 2(1+ ) = E G  =   = E G E   = 2(1 ) E   E  = + 2(1 ) E   E  = +    = + 2(1 ) 3 O   2(1 )10 0.2 − = + 