《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 弯曲内力 Internal forces in beams §4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系（Relationships between load,shear force,and bending moment）

弯曲内力(Internalforces in beams)S4-4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationships betweenload,shearforce,andbending moment)一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)设梁上作用有任意分布荷载V其集度q=q ()x规定g(x)向上为正将x轴的坐标原点取在梁的左端q(x)

1 (Internal forces in beams) 设梁上作用有任意分布荷载 其集度 §4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment) 一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系 (Differential relationships between load,shear force,and bending moment) q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. x y q(x) F M

弯曲内力nternal forces in beamsXyM假想地用坐标为x和x+dxmx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx微段m-m截面上内力为Fs(x)，M(x)q(x)dxxx+dx截面处则分别为mnM(x)+dM(x)Fs(x)Fs(x) + dFs(x) , M(x) +作dM(x）.由于dx很小，略去M(x)q(x) 沿 dx 的变化Fs(x)+dFs(x)11mq(x)

2 (Internal forces in beams) x y q(x) F M FS (x) M(x) FS (x)+dFS (x) M(x)+dM(x) 假想地用坐标为x 和 x + dx 的两横截面m-m 和 n-n从梁中取 出 dx 微段. m m n n q(x) C x + dx 截面处 则分别为 FS (x) + dFS (x) ， M(x) + dM(x) . 由于dx 很小，略去 q(x) 沿 dx 的变化. m-m 截面上内力为 FS (x) , M(x) n x m m n dx

弯曲内力nternal forces in beams写出微段梁的平衡方程EF, =0Fs(x)-[Fs(x) + dFs(x)]+ q(x)dx = 0dFs(x)得到q(x)ZMc=0dxdx[M(x)+ dM(x) ]- M(x) - Fs(x) dx - g(x)dx2mnM(x)+dM(x)略去二阶无穷小量即得Fs(x)格M(x)fti-.-f-dM(x)= Fs(x)Fs(x)+dFs(x)dxnmq(x)

3 (Internal forces in beams) 0 2 d [ ( ) d ( ) ] ( ) ( ) d ( )d 0 + − − S − =  = x M x M x M x F x x q x x MC FS (x) M(x) FS (x)+dFS (x) M(x)+dM(x) m m n n q(x) C 写出微段梁的平衡方程 Fx = 0 FS (x) − [FS (x) + dFS (x)]+ q(x)dx = 0 得到 ( ) d d ( ) S q x x F x = 略去二阶无穷小量即得 ( ) d d ( ) FS x x M x =

弯曲内力nternal forces in beamsdFs(x)q(x)dxdM(x)Fs(x)dxd'M(x)g(x)dx?公式的几何意义(1)剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小(2)弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小：(3）根据g(x)>0 或g(x)< 0 来判断弯矩图的凹凸性

4 (Internal forces in beams) 公式的几何意义 （1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小; （2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小; ( ) d d ( ) S q x x F x = ( ) d d ( ) S F x x M x = ( ) d d ( ) 2 2 q x x M x = （3）根据 q(x) ＞ 0 或 q(x) ＜ 0 来判断弯矩图的凹凸性

弯曲内力(nternal forces in beams二、q(x）、Fs(x)图、M（x）图三者间的关系(Relationships between load, shear force, and bendingmoment diagramsdFs(x)1.梁上有向下的均布荷载，即g(x)<0q(x)dxFs(x）图为一向右下方倾斜的直线dM(x)= Fs(x)M(x）图为一向上凸的二次抛物线dxM(x)Fs(x)d°M(x)q(x)dr?00xX

5 (Internal forces in beams) M(x) 图为一向上凸的二次抛物线. FS (x) 图为一向右下方倾斜的直线. x FS (x) O 二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系 (Relationships between load, shear force, and bending moment diagrams) 1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 M(x) ( ) d d ( ) S q x x F x = ( ) d d ( ) S F x x M x = ( ) d d ( ) 2 2 q x x M x =

弯曲内力nternal forces in beamsdFs(x)2.梁上无荷载区段，(x)=0q(x)dx剪力图为一条水平直线dM(x)Fs(x)弯矩图为一斜直线dx当Fs(x)>0时，向右上方倾斜d’M(x)=q(x)当Fs(x)<0时，向右下方倾斜dr?Fs(x)M(x)M(x)0X00

6 (Internal forces in beams) 2.梁上无荷载区段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线. 弯矩图为一斜直线. x FS (x) O 当 FS (x) > 0 时, 向右上方倾斜. 当 FS (x) < 0 时, 向右下方倾斜. O x M(x) ( ) d d ( ) S q x x F x = ( ) d d ( ) S F x x M x = ( ) d d ( ) 2 2 q x x M x = O M(x) x

弯曲内力nternal forces in beams3.在集中力作用处剪力图有突变，其突变dFs(x)值等于集中力的值.弯矩图有转折q(x)dx4.在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化dM(x)= Fs(x)dx5.最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧；或分布载荷发生变化的区段上d°M(x)q(x)dx?梁上最大弯矩Mmax可能发生在Fs(x)=0的截面上；或发生在集中力所在的截面上：或集中力偶作用处的一侧

7 (Internal forces in beams) 5. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的 一侧; 或分布载荷发生变化的区段上. 梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS (x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面 上;或集中力偶作用处的一侧. 3. 在集中力作用处剪力图有突变, 其突变 值等于集中力的值. 弯矩图有转折. 4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突 变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化. ( ) d d ( ) S q x x F x = ( ) d d ( ) S F x x M x = ( ) d d ( ) 2 2 q x x M x =

弯曲内力Cnternal forces in beams表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征一段梁上集中力无荷载集中力偶向下的均布荷载M/F的外力情q<0CC况剪力图水平直线向下倾斜的直线在C处无变化在C处有突变c的特征CO弯矩图在C处有转折在C处有突变一般斜直线上凸的二次抛物线的特征M或Mmax所在在剪力突变在紧靠C的某截面的可在Fs-0的截面的截面一侧截面能位置

8 (Internal forces in beams) 无荷载 集中力 F C 集中力偶 M C 向下倾斜的直线 上凸的二次抛物线 在FS=0的截面 水平直线 一般斜直线 或 在C处有转折 在剪力突变 的截面 在紧靠C的某 一侧截面 一段梁上 的外力情 况 剪力图 的特征 弯矩图 的特征 Mmax所在 截面的可 能位置 表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 q < 0 向下的均布荷载 在C处有突变 在C处有突变 M 在C处无变化 C

弯曲内力(lnternal forcesinbeams三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系(Integral relationships between load, shearforce,and bending moment)dFs(x)q(x)dx若在x=x和x=x处两个横截面无集中力，则dFs(x)=q(x)dxXX1Fs(x2) -Fs(x)= (" q(x)dxFs(x2)-F(x)=q(x)dx

9 (Internal forces in beams) 三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系 (Integral relationships between load, shear force, and bending moment) 若在 x = x1 和 x = x2 处两个横截面无集中力, 则 ( ) d d ( ) S q x x F x = ( ) ( ) =   2 2 1 1 d d S x x x x F x q x x ( ) ( ) ( ) − =  2 1 S 2 S 1 d x x F x F x q x x ( ) ( ) ( ) − =  2 1 S 2 S 1 d x x F x F x q x x

弯曲内力(nternal forces in beamsFs(x2)-Fs(x)= ( q(x)dx式中，F（x）Fs（x）分别为在x=x和x=x2处两个横截面上的剪力。等号右边积分的几何意义是x1，x两横截面间分布荷载图的面积dM(x)= Fs(x)dx若横截面x=X，x=x间无集中力偶作用则得M(x2) -M(x)) =[" Fs(x)dx式中M(x)，M(x)分别为在x=x和x=x处两个横截面上的弯知等号右边积分的几何意义是x，x两个横截面间剪力图的面积

10 (Internal forces in beams) 等号右边积分的几何意义是 x1 , x2 两横截面间分布荷载图的面积. ( ) d d ( ) S F x x M x = 若横截面x = x1，x = x2 间无集中力偶作用则得 ( ) ( ) − = ( )  2 1 2 1 S d x x M x M x F x x 式中 M(x1 )，M(x2 ) 分别为在 x = x1 和 x = x2 处两个横截面上的弯矩. 等号右边积分的几何意义是x1 , x2两个横截面间剪力图的面积. ( ) ( ) ( ) − =  2 1 S 2 S 1 d x x F x F x q x x 式中， 分别为在 x = x1 和 x = x2 处两个横截面上 的剪力. ( ) ( ) FS x1 FS x2