《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 轴向拉伸和压缩 Axial Tension and Compression 2.6 拉压超静定问题

S2-6拉压超静定问题例题9图示平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，，分别为A，l，E.试求三杆的轴力FN1,FN2,FN33111BCH

例题9 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作 用着荷载 F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A， l，E.试求三杆的轴力 FN1 , FN2 , FN3. B C A F 3 l a a 2 1 §2-6 拉压超静定问题

解：（1）平衡方程132EF,=0F.=0aa1BCAZF,=0FNi +Fn2 +Fn3 -F= 0FFN3FN2FNIEMB=0320aaFn12a + Fn2a = 0BCAF这是一次超静定问题，且假设均为拉杆F

B C A F 3 l a a 2 1 F B C A 3 a a 2 1 FN3 FN2 FN1 Fx 解：（1） 平衡方程  = 0 Fx Fx = 0  = 0 Fy 0 FN1 + FN2 + FN3 − F =  = 0 MB 这是一次超静定问题,且假设均为拉杆. FN1 2a + FN2a = 0

321BAC312Al1A12Al3Aa2B'BcAF(2)变形几何方程A1 + = 2A1Fn2lFN3lFnili物理方程Al =Al2AlEAEAEA(3）补充方程Fn1 + Fn3 = 2Fn2

（ 2 ） 变形几何方程 物理方程B C A F3 l a a 2 1 A  B  C   l 3  l 2  l 1 B C A 3 2 1 1 3 2 2 Δl + Δl = Δl 1 1 1 1 EA F l l N Δ = EA F l l 3 3 N Δ = EA F l l 2 2 N Δ = （3） 补充方程 1 3 2 2 FN + FN = FN

321BAC312Al1A12Al3Aa2B'BcA(4）耳联立平衡方程与补充方程求解F.=0Fn1 =-F/6Fni2a+Fn2a=0FN2=F/3Fn1 + Fn2 + Fn3 - F = 0FN3 =5F/6Fni + Fn3 = 2Fn2

B C A F 3 l a a 2 1 A B C l3 l 2 l1 B C A 3 2 1 （4）联立平衡方程与补充方程求解 FN1 FN3 FN2 + = 2 = 0 Fx F + F + F − F = 0 N1 N2 N3 FN1 2a + FN2a = 0 5 / 6 / 3 / 6 N3 N2 N1 F F F F F F = −

S2-6拉压超静定问题(Staticallyindeterminate problem ofaxiallyloadedmembers)一、静定与超静定问题(Staticallydeterminate&indeterminateproblem)1.静定问题（Staticallydeterminateproblem）杆件的轴力可以用静力平衡条件求出这种情况称作静定问题2.超静定问题（Staticallyindeterminateproblem）只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题

一、静定与超静定问题 (Statically determinate & indeterminate problem) §2-6 拉压超静定问题 (Statically indeterminate problem of axially loaded members) 1.静定问题 (Statically determinate problem) 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题. 2.超静定问题(Statically indeterminate problem) 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题

二、超静定问题求解方法（Solutionmethodsforstatically indeterminate problem)1.超静定的次数（Degreesofstaticallyindeterminateproblem）未知力数超过独立平衡方程数的数目，称作超静定的次数n=未知力的个数一独立平衡方程的数目2.求解超静定问题的步骤(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)(1确定静不定次数：列静力平衡方程(2)根据变形协调条件列变形几何方程(3））将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程（4）联立补充方程与静力平衡方程求解

1.超静定的次数(Degrees of statically indeterminate problem ) 未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数. 二、超静定问题求解方法 (Solution methods for statically indeterminate problem） 2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate) （1）确定静不定次数；列静力平衡方程 （2）根据变形协调条件列变形几何方程 （3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程 （4）联立补充方程与静力平衡方程求解 n = 未知力的个数－独立平衡方程的数目

三、一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)例题8设1，2，3三杆用绞链连结如图所示，l==l，A,=A=A，E,=E,=E，3杆的长度l3，横截面积A3，弹性模量E3试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力解：（1）列平衡方程BDZFx= 0 Fni =FN2N3HEF,=0Fnicosα+XAAFn2 COSα + FN3 - F = 0AH这是一次超静定问题！

例题8 设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 。 试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力. C A B D F   1 2 3 三、一般超静定问题举例 (Examples for general statically indeterminate problem) x y F A FN2 FN3 FN1   解： （1）列平衡方程 1 2 0 Fx = FN = FN cos 0 0 cos N2 N3 N1 + − =  = F F F Fy F  这是一次超静定问题﹗

BDDBxAAF（2）变形几何方程由于问题在几何，物理及受力方面都是对称所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起

（2）变形几何方程 由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿 铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起﹗ C A B D F   1 2 3 x y F A FN2 FN3 FN1   C A B D   1 2 3 A

TBDBCOD1CCα331224AlAAlR4A'变形几何方程为cosaFn3lcosaEni物理方程为Nl, =Nl3EAE,AsEAHF（3）补充方程COSQN3N1E,As

3 Δl 变形几何方程为   A 1 2 3   C A B D F   1 2 3 C A B D   1 2 3 A' A' 1 Δl Δl1 = Δl3 cos 1 1 1 1 EA F l l N Δ = 3 3 3 3 E A F l l cos Δ N = （3）补充方程  2 3 3 1 3 cos N N E A EA F = F 物理方程为

(4））联立平衡方程与补充方程求解ODBCCFn = Fn2312-F=0Ficosα+Fn2cosα+F2EAA2LFCOSaN3N1E,A3312Fα7N3EA1+2COS2E,A3AFNlFn1 = Fn2 =E,A31+2cosα+EAcos'αA

（4）联立平衡方程与补充方程求解 C A B D F   1 2 3 3 Δl   A 1 2 3   A' 1 Δl   2 3 3 1 2 1 2 cos cos N N E A E A F F F + + = FN1 = FN2 0 FN1 cos + FN2 cos + FN3 − F =  2 3 3 1 3 cos N N E A EA F = F  2 3 3 3 1 2 cos N E A EA F F + =