中山大学：《电动力学》课程教学资源（课件讲义）第四章 电磁波的传播

第四章4.1真空中的波动方程4.2时谐波亥姆霍兹方程和边值关系平面波4.3导体内的电磁波4.4电磁波在界面的反射和折射4.5谐振腔和波导4.6高斯光束（阅读与讨论）4.7等离子体中的电磁波4.8光子晶体（讲座）4.9光学空间孤子（讲座）4.1真空中的波动方程随时间变化的电荷电流分布激发时变电磁场，变化的电场与磁场互相激发形成电磁波由麦克斯韦方程组aBV.D=Pr,VxE=-ataDV.B=0,VxH=J,+(4.1)at在激发源之外的真空中，P，=0，J，=0，D=E,H=Blμo,有aBV.E=0,VxE=ataEV-B=0,V×B=μ60(4.2)at而aaEV×(V×E)=-(V×B)=-μ060at?atV×(V×E)=V(V.E)-V?E于是得关于E的齐次波动方程：1aEV?E=0(4.3)ar?c3同理可得关于B的齐次波动方程：1αBV?B--=0(4.4)c2at?E和B有完全相同的波动形为，其中1

第四章 4.1 真空中的波动方程 4.2 时谐波 亥姆霍兹方程和边值关系 平面波 4.3 导体内的电磁波 4.4 电磁波在界面的反射和折射 4.5 谐振腔和波导 4.6 高斯光束（阅读与讨论） 4.7 等离子体中的电磁波 4.8 光子晶体（讲座） 4.9 光学空间孤子（讲座） 4.1 真空中的波动方程 随时间变化的电荷电流分布激发时变电磁场,变化的电场与磁场互相激发形成电磁波. 由麦克斯韦方程组 = ρ f ⋅∇ D , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ +=×∇ D JH f (4.1) 在激发源之外的真空中， 0 ρ f = ， 0 Jf = ， = ε 0ED , 0 = BH /μ ，有 ⋅∇ E = 0 , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ =×∇ E B 00εμ (4.2) 而 2 2 00 )()( t ∂t ∂ −=×∇ ∂ ∂ −=×∇×∇ E E B εμ E EE 2 )()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇ 于是得关于 E 的齐次波动方程: 0 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ −∇ tc E E (4.3) 同理可得关于 B 的齐次波动方程: 0 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ −∇ tc B B (4.4) E 和 B 有完全相同的波动形为，其中 1

1(4.5)=299792458m/sVoco是所有频率的电磁波在真空中的传播速度4.2时谐波亥姆霍兹方程和边值关系平面波时谐波即角频率为の的单色波：E(x,t)=E(x)cosot,B(x,t)=B(x)cosot写成复数形式E(x,t) = E(x)e-ia, B(x,t)= B(x)e-it(4.6)介质色散即便是同一种介质，其电容率ε和磁导率μ一般地是频率的函数：8=8(0), μ=μ(0)仅对单色波，各向同性线性均匀介质内才有ε=常数，U=常数：D=&E，B=H(4.7)R线性均匀绝缘介质内的亥姆霍兹方程星边值关系在各向同性线性均匀的绝缘介质内，P,=0，J，=0，麦克斯韦方程组为aBVxE=V.D=0,ataDVxH=V.B=0,(4.8)at将(4.6)和(4.7)代入(4.8),得V.E(x)=0,V×E(x)=ioμH(x)V.H(x)= 0,V×H(x)=-i0E(x)(4.9)注意这四个方程中，只有第2和第4式是独立的。取第2式的散度即给出第3式；取第4式的散度即给出第1式。因此，对于时谐波，电磁场的四个边值关系e.-(D, -D)=,,e. ×(E, -E,)=0e. (B,-B)=0,en ×(H, -H,)=αr中，只有第2和第4式是独立的：2

sm/ 458 792 299 1 00 == εμ c (4.5) 是所有频率的电磁波在真空中的传播速度. 4.2 时谐波 亥姆霍兹方程和边值关系 平面波 时谐波 即角频率为ω 的单色波： t = xEx,E )cos()( ωt ， t = xBx,B )cos()( ωt 写成复数形式 ti et − ω = xExE )(),( , (4.6) ti et − ω = xBxB )(),( 介质色散 即便是同一种介质，其电容率ε 和磁导率 μ 一般地是频率的函数: ε = ε ω)( , μ = μ ω)( 仅对单色波,各向同性线性均匀介质内才有ε = 常数, μ = 常数: = εED , = μHB (4.7) 线性均匀绝缘介质内的亥姆霍兹方程 边值关系 在各向同性线性均匀的绝缘介质内, 0 ρ f = , 0 Jf = , 麦克斯韦方程组为 ⋅∇ D = 0 , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ =×∇ D H (4.8) 将(4.6)和(4.7)代入(4.8),得 ⋅∇ xE = 0)( , ∇ × = iωμ xHxE )()( ⋅∇ xH = 0)( , ∇× = −iωε xExH )()( (4.9) 注意这四个方程中,只有第 2 和第 4 式是独立的. 取第 2 式的散度即给出第 3 式； 取第 4 式的散度即给出第 1 式. 因此,对于时谐波,电磁场的四个边值关系 f12n −⋅ DDe )( =σ ， 0)( × − EEe 12n = 0)( −⋅ BBe 12n = ， n f12 × − HHe )( = α 中,只有第 2 和第 4 式是独立的: 2

(4.10)e.×(E,-E,)=0,e.×(H,-H)=α满足这两个边值关系，其它两个自然也满足对(4.9)的第2式求旋度，并由第4式，得线性均匀绝缘介质内时谐波电场E的亥姆霍兹方程：VE(x)+kE(x)= 0(4.11)其中k=0=2元/2（真空中k=のμ=0/c)(4.12)入为电磁波在介质中的波长，k为波数.方程(4.11)的解还必须满足条件：V·E(x)= 0(横场条件)(4.13)在研究电磁波在有界空间中的传播时，在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.11)和条件(4.13)，在界面上又满足(4.10)第一式的电场E，是唯一的解出E后，由(4.9)第2式即可求出磁场：B(x)= μH(x)=-=×E(x)(4.14)0同理，从方程组(4.9)，亦可得磁场B遵从亥姆霍兹方程：V?B(x)+ k’B(x) = 0(4.15)V.B(x) = 0（横场条件）(4.16)在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.15)和条件(4.16),在界面上又满足(4.10)第2式的磁场B，也是唯一的.解出B后，由(4.9)第4式，即可求出电场1V×B(x)E(x)= -(4.17)aue线性均匀绝缘介质内的平面波自然界一切电磁波均可看成由各种单色平面波叠加的结果.亥姆霍兹方程V? E(x)+k’E(x) = 0(4.18)V·E(x)=0(4.19)(横场条件）最基本的解是单色平面波.例如，当单色平面波沿x轴传播时波矢量k=kexm

0)( × − EEe 12n = , n f12 × − HHe )( = α (4.10) 满足这两个边值关系,其它两个自然也满足. 对(4.9)的第 2 式求旋度,并由第 4 式,得线性均匀绝缘介质内时谐波电场 E 的亥姆霍兹 方程： 0)()( 2 2 k xExE =+∇ (4.11) 其中 k π== /2 λμεω (真空中 k / c = 00 = ωεμω ) (4.12) λ 为电磁波在介质中的波长, k 为波数.方程(4.11)的解还必须满足条件： ⋅∇ xE = 0)( (横场条件) (4.13) 在研究电磁波在有界空间中的传播时,在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程 (4.11)和条件(4.13),在界面上又满足(4.10)第一式的电场 E,是唯一的. 解出 E 后,由(4.9)第 2 式即可求出磁场: xHxB )()( ×∇−== xE )( ω μ i (4.14) 同理,从方程组(4.9),亦可得磁场 B 遵从亥姆霍兹方程: 0)()( 2 2 k xBxB =+∇ (4.15) ∇ ⋅ xB = 0)( (横场条件) (4.16) 在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.15)和条件(4.16),在界面上又满足(4.10)第2式 的磁场 B,也是唯一的.解出 B 后,由(4.9)第 4 式,即可求出电场 xE )( ×∇−= xB )( ωμε i (4.17) 线性均匀绝缘介质内的平面波 自然界一切电磁波均可看成由各种单色平面波叠加的结果.亥姆霍兹方程 0)()( 2 2 k xExE =+∇ (4.18) ∇⋅ xE = 0)( (横场条件) (4.19) 最基本的解是单色平面波.例如,当单色平面波沿 x 轴传播时 波矢量 x = kek 3

d’E(x)+k’E(x)=0方程(4.18)为dx2E(x)= Eoeikr它的一个解为由条件V·E(x)=0,有a[E.eikr]=ike,E(x)=0,即kE,E为横场exxE的全表达式为E(x,t)= E(x)e-iol = Esei(kr-an)波的相位为Φ=kx-ot(4.20)与波矢量k=ke，正交的任意平面，都是等相面.在此平面上所有各点@=kx-ot=常数对求上式时间的导数，得相速度1110CD=(线性均匀绝缘介质中)(4.21)kVusuoen介质的折射率n=ue,(4.22)一色散.Z=ul称为介质的波阻抗u.和s,与波的频率有关，故和n也与频率有关一真空中任何频率的波，均有n=1,=c,Z。=o/。=376.72沿任意方向传播的平面波波矢量k=ke,+k,e,+ke(4.23)E(x, I) = Eoe (kx-n)电场(4.24)波的相位Φ=k.x-ot(4.25)与k正交的任意平面，都是等相面由V.E(x)=0，得ik·E=o，即klE磁场为4

方程(4.18)为 0)( )( 2 2 2 xE =+ xE k dx d 它的一个解为 ikx e0 )( = ExE 由条件 xE =⋅∇ 0)( ,有 0)(][ 0 =⋅=⋅ ∂ ∂ xEeEe x ikx x ike x , 即 ⊥ Ek , E 为横场 E 的全表达式为 )( 0 )(),( ti t-kxi eet ω ω = = ExExE − 波的相位为 φ = −ωtkx (4.20) 与波矢量 正交的任意平面,都是等相面.在此平面上所有各点 x = kek φ = −ωtkx = 常数 对求上式时间的导数,得相速度 n c k === = 00rr 111 εμεμμε ω v (线性均匀绝缘介质中) (4.21) 介质的折射率 rr n = εμ (4.22) μ r 和 r ε 与波的频率有关,故 v 和 n 也与频率有关——色散. Z = /εμ 称为介质的波阻抗. 真空中任何频率的波，均有 n = 1， v = c ， Z0 εμ 00 7.376/ Ω≅= 沿任意方向传播的平面波： 波矢量 zzyyxx = + + kkk eeek (4.23) 电场 (4.24) )( 0 ),( t-i et xk ω ExE ⋅ = 波的相位 φ = ⋅ xk −ωt (4.25) 与 k 正交的任意平面,都是等相面. 由 ⋅∇ xE = 0)( , 得 i ⋅ Ek = 0, 即 ⊥ Ek 磁场为 4

=V×[Eoei(k-x-an)]-V×E(x)= -B(x)=Q(4.26)k1XE:-exE0v可知电磁波：(1）是横波,E，B，k三者正交，即k·E=0，k·B=0，而且E×B→k方向.(2）电场与磁场的振幅比E1(线性均匀绝缘介质中)(4.27)0BVusE1(真空中)(4.28)=cBVuoEo电磁波的偏振电磁波电场E（或磁场B)一般地可分解为与波矢k垂直的两个独立偏振.设k=ke.，则E可分解为(4.29)E=Erex+E,ey(1)若E的矢端始终在一直线上(如E,=0,E，≠0,或E,±0,E，=0),则称之为线偏振波——完全偏振波(2）在面对传播方向看，若E的矢端作逆时针旋转，称之为右旋的圆偏振波（当E，=E，），或右旋的椭圆偏振波（当E，E，)；若E的矢端作顺时针旋转，称为左旋的圆偏振波或椭圆偏振波平面波的能量和能流各向同性线性均匀的绝缘介质内，能量密度为11E?+B2.w=(4.30)22μ由于B=E/=usE，故波的电能=磁能(无损耗的理想情形).能量密度瞬时值为W=E2=&Ecos(k.x-ot)(4.31)能流密度瞬时值为5

EeE k xB xE E xk ×=×= ×∇−=×∇−= −⋅ k ti e i i v 1 )( ][)( )( 0 ω ω ω ω (4.26) 可知电磁波: (1) 是横波,E, B, k 三者正交, 即 ⋅ Ek = 0, ⋅Bk = 0，而且 × → kBE 方向. (2) 电场与磁场的振幅比 == v με 1 B E (线性均匀绝缘介质中) (4.27) c B E == 00 1 εμ (真空中) (4.28) 电磁波的偏振 电磁波电场E (或磁场B)一般地可分解为与波矢k垂直的两个独立偏振.设 ,则E 可分解为 z = kek EE yyxx = + eeE (4.29) (1) 若 E 的矢端始终在一直线上(如 x = EE y ≠ 0,0 ,或 x ≠ EE y = 0,0 ),则称之为线偏 振波——完全偏振波. (2) 在面对传播方向看，若 E 的矢端作逆时针旋转，称之为右旋的圆偏振波（当 = EE yx ），或右旋的椭圆偏振波（当 ≠ EE yx ）；若 E 的矢端作顺时针旋转，称为左旋的 圆偏振波或椭圆偏振波. 平面波的能量和能流 各向同性线性均匀的绝缘介质内,能量密度为 2 2 2 1 2 1 BE μ w ε += (4.30) 由于 EB / v == με E ,故波的电能=磁能(无损耗的理想情形).能量密度瞬时值为 )(cos 22 0 2 w == εε EE xk −⋅ ωt (4.31) 能流密度瞬时值为 5

S=ExH=-ExB=/dμE'ex=Vwek(4.32)Ae为传播方向的单位矢量，上式表示，各向同性线性均匀的绝缘介质内，单色波的能量以相速度沿传播方向转移.w和S在每个周期T内的平均值为1Re(E"sE)=sE?wdt=-(4.33)w=22TJ0EEser11S=Sdt=--Re(E*×H)=(4.34)2VuT Jo2在上述各式中，将μ和ε改为。和s。，即得真空中电磁波能量密度和能流密度的瞬时值，或平均值在介质内，由于相速度?与频率①有关，故不同频率的单色波有不同的能量传播速度色散，这将导致多频率成份的波变形.当介质中的波含有众多频率成份时（例如脉冲波和已调制波），由于能量密度与波的振幅平方成正比，故整个波包的传播速度，才是波的能量传播速度，又称为群速度do(4.35)g= dk由于介质折射率n是频率の的函数，而相速度u=cln，の=k=kcln，故群速度与相速度的关系为dpdoc(4.36)Ug==up+kdkdkn+o(dnldo)正常色散介质dnldo>0，故，自由空间中Ug=up=C.4.3导体内的电磁波线性均匀导体内的自由电荷分布线性均匀导体内，当频率の不是太高时，传导电流遵从欧姆定律J，=cE，D=E，由场方程和电流连续性方程+opr=0V.D=PrV.J.+at6

k k 2 / 1 BEHES =×=×= με E = vwee μ (4.32) k e 为传播方向的单位矢量，上式表示，各向同性线性均匀的绝缘介质内,单色波的能量以相 速度 v 沿传播方向转移. w 和 在每个周期 S T 内的平均值为 2 0 0 2 1 )Re( 2 11 wdt E T T = =⋅= εε ∗ ∫ w EE (4.33) k 2 0 0 2 1 )Re( 2 11 SS dt HE E e T T μ ε = = =×∗ ∫ (4.34) 在上述各式中,将 μ 和ε 改为 μ 0 和 0 ε ,即得真空中电磁波能量密度和能流密度的瞬时值,或 平均值. 在介质内，由于相速度 v 与频率ω 有关，故不同频率的单色波有不同的能量传播速度 ——色散，这将导致多频率成份的波变形. 当介质中的波含有众多频率成份时(例如脉冲波和已调制波),由于能量密度与波的振幅 平方成正比,故整个波包的传播速度,才是波的能量传播速度,又称为群速度 dk d g ω v = (4.35) 由于介质折射率 是频率 n ω 的函数,而相速度 /nc vp = , /nkck ω = vp = ,故群速度与相速 度的关系为 )/( p g p ωω ω ddnn c dk d k dk d + =+== v v v (4.36) 正常色散介质 ddn ω > 0/ ,故 vv pg == c vv pg 4.3 导体内的电磁波 线性均匀导体内的自由电荷分布 线性均匀导体内，当频率ω 不是太高时,传导电流遵从欧姆定律 = σEJf ， = εED ， 由场方程和电流连续性方程 = ρ f ⋅∇ D ， 0 f f = ∂ ∂ +⋅∇ t ρ J 6

opt=-V.J, =a得PatC其解为Pr(x,t)=pr(x,0)ePr(x,0)是x处t=0时刻的子由电荷密度.可知,在线性均匀导体内，若起初时刻某处有自由电荷积累，其密度将按指数规律衰减，衰减特征时间常数为(4.37)T=e/oQ越高衰减越快例如铜，5.8×107/Q2m，6~6=8.85×10-12F/m，T~10-19s对于一般金属，T=6/g～10-17s.当波的频率0>1即满足（良导体条件）(4.38)0Pr=0可认为导体内部自由电荷只能分布于导体表面，以电荷面密度，描述线性均匀导体内的亥姆霍兹方程线性均匀导体内的场方程为aBVxE=V.D=0,ataDaD= GE +VB=0,VxH=J,+atat对时谐波B(x,t) = B(x)e-iotE(x,t)= E(x)e-iotr,有V·E(x)=0,VxE(x)=iouH(x)V.H(x)=0,V×H(x)= -i0E(x)+oE(x)=-i0E(x)(4.39)因此线性均匀导体内的时谐波，也遵从亥姆霍兹方程? E(x)+k’E(x)=0(4.40)及横场条件V.E(x)=0(4.41)但7

得 f f f ρ ε ρ σ −=⋅−∇= ∂ ∂ J t 其解为 t t e ε σ ρρ − = )0,(),(f f xx )0,(f ρ x 是 处 时刻的子由电荷密度.可知,在线性均匀导体内,若起初时刻某处有自 由电荷积累,其密度将按指数规律衰减, 衰减特征时间常数为 x t = 0 τ = ε /σ (4.37) σ 越高衰减越快.例如铜, m/108.5 , , . 7 σ ⋅Ω×≈ m/F1085.8 12 0 − εε ×=≈ s10~ −19 τ 对于一般金属, s10~/ .当波的频率 −17 = σετ ω > 1 εω σ (良导体条件) (4.38) 可认为导体内部 0 ρ f = 自由电荷只能分布于导体表面,以电荷面密度σ f 描述. 线性均匀导体内的亥姆霍兹方程 线性均匀导体内的场方程为 ⋅∇ D = 0 , ∂t ∂ −=×∇ B E B =⋅∇ 0 , ∂tt ∂ += ∂ ∂ +=×∇ D E D JH f σ 对时谐波 ti et − ω = xExE )(),( , ti et − ω = xBxB )(),( 有 ⋅∇ xE = 0)( , ∇ × = iωμ xHxE )()( ⋅∇ xH = 0)( , ×∇ = −iωε +σ = −iωε ′ xExExExH )()()()( (4.39) 因此线性均匀导体内的时谐波,也遵从亥姆霍兹方程 0)()( 2 2 k xExE =+∇ (4.40) 及横场条件 ∇⋅ xE = 0)( (4.41) 但 7

k=のus','=6+iolo(4.42)6'是导体的复数电容率.由于k为复数，因此导体内波矢量为复矢量k=β+iα(4.43)故得导体内平面波的电磁场为E=Ee(x-) =Ee"a*e(B-an)B=-k×E=(β+ia)×E(4.44)00E。是波在导体表面的振幅.波的相位为Φ=β.x-ot(4.45)与矢量β正交的平面是波在导体内的等相面，波在导体内的相速度为0=0(4.46)ββ称为相位常数.因子Epe"ax表明随着穿入深度增加，波在导体内的振幅呈指数衰减，与矢量α正交的平面是波在导体内的等振幅面，α称为衰减常数，波在导体内衰减，是由于传导电流的热效应引起能量损耗所致.平均损耗功率密度为"'J··Edt =号Re(E"·E)=oEge-2a.r(4.47)p=TJo22在非垂直入射情形，矢量β与α的方向不一致.由k=wus',s'=s+io/ok=β+iα两边均平方，得β?-α”="μ,α-β=(4.48)ouo知道矢量β与α的夹角θ,便可解出β与α.导体内的电磁波当电磁波垂直入射于导体时，β与α均指向导体内部的法向e.，即导体内的波失量为8

k = εμω ′ , ε ′ = ε + iσ /ω (4.42) ε′是导体的复数电容率.由于 k 为复数,因此导体内波矢量为复矢量 k = β + iα (4.43) 故得导体内平面波的电磁场为 )( 0 )( 0 ti ti e ee κ x-ω xx -ω EE E ⋅ ⋅⋅ = = - βα EkB α)( ×+=×= E 11 β i ω ω (4.44) E0 是波在导体表面的振幅.波的相位为 φ = β ⋅ x −ωt (4.45) 与矢量 β 正交的平面是波在导体内的等相面,波在导体内的相速度为 β ω v = (4.46) β 称为相位常数.因子 x E -α⋅ e0 表明随着穿入深度增加,波在导体内的振幅呈指数衰减, 与矢量α 正交的平面是波在导体 内的等振幅面,α 称为衰减常数. 波在导体内衰减,是由于传导电流的热效应引起能量损耗所致. 平均损耗功率密度为 x EJ EE ∗ ∗ ⋅− =⋅=⋅= ∫ 22 α 0 0 f 2 1 )Re( 2 1 dt eE T p T σ σ (4.47) 在非垂直入射情形,矢量 β 与α 的方向不一致.由 k = εμω ′ , ε ′ = ε + iσ /ω k = β + iα 两边均平方,得 μεωαβ 222 =− , ωμσ 2 1 βα =⋅ (4.48) 知道矢量 β 与α 的夹角θ ,便可解出 β 与α . 导体内的电磁波 当电磁波垂直入射于导体时， β 与α 均指向导体内部的法向 ,即导体内的波矢量为 n e 8

k=(β+iα)en(4.49)由(4.48)可解出G2+1B=01E02g2q?7-1K(4.50)0g2于是透入导体内的电磁场为1E=Ee-ei(p-o)B=-(β+iα)e,×E(4.51)0波在导体内的相速度（绝缘介质中=/k=1/ug）v=olβ(4.52)波在导体内的穿透深度2=0-1(4.53)α对于良导体，即满足条件a>>1(4.54)00时，（4.50)给出ouaα~β(4.55)2因此，良导体内的磁场uoB~(1+i)e, ×E:e*e.xE00iH:4e,xE(4.56)ou这表明，良导体内(1)B的相位比E滞后元/4，(2)且/uH>>VeE，故良导体(金属)内部电磁波的能量主要是磁场能.这是因为，电场通过直接对自由电荷作功而失去了能量.电磁波在良导体内的穿透深度为218=(4.57)αVoua9

n k = β + iα)( e (4.49) 由(4.48)可解出 2 1 22 2 1( )]1 2 1 = [ ++ εω σ μεωβ 2 1 22 2 1( )]1 2 1 = [ −+ εω σ μεωα (4.50) 于是透入导体内的电磁场为 )( 0 tzizee − −ωβα = EE , B ×+= Een )( 1 β iα ω (4.51) 波在导体内的相速度 v = ω / β (绝缘介质中 v ω == 1/ /k με ) (4.52) 波在导体内的穿透深度 α δ 1 z == (4.53) 对于良导体,即满足条件 >> 1 ωε σ (4.54) 时, (4.50)给出 2 ωμσ βα ≈≈ (4.55) 因此,良导体内的磁场 B Ee =×+≈ × Ee π n 4 n )(1 i i e ω μσ ω α H ≈ × Ee π n 4 i e ωμ σ (4.56) 这表明,良导体内 (1) B 的相位比 E 滞后 π/4, (2)且 >> εμ EH ,故良导体(金属)内部电磁波的能量主要是磁场能.这是因为，电 场通过直接对自由电荷作功而失去了能量.电磁波在良导体内的穿透深度为 ωμσα δ 21 ≈= (4.57) 9

电导率和波的频率の越高，越小，这现象称为导体的高频趋肤效应4.4电磁波在界面的反射和折射经典光学和电动力学一一电磁波的反射和折射现象（1）决定于界面两边介质的电磁性质和边值关系：e. ×(E2-E,)=0, e.×(H,-H)=αr(4.58)（2）假定反射波和折射波的频率，与入射波的频率相同（忽略了介质内原子或分子对电磁波散射，或吸收、再发射等复杂的量子过程）事实上，电磁波（光）与介质的互作用是量子过程，与介质的分子结构、电磁波的强度、频率、以及温度都有关.Compton散射（P239，26题）表明，散射波频率比入射波频率低，反射定律和折射定律设界面为z=0的平面，以θ，θ'，0"分别表示入射角、反射角和折射角频率0=0'=0"k=k'=0/=0/μ,"=0/v,=026(4.59)入射波E=Ege(kx-0)支E'-Ee(*x-o)反射波折(透)射波E"=Ejei(*"-a)在z=0的界面，由边值关系e.×(E2-E,)=0,有e, (Ee*** +Ege**)=e, ×E'e**在整个z=0的平面上，上式均成立，必须有k.x=k-x=k".x (z=0)(4.60)若入射面xz平面，则k，=k=k，=0.由(4.60)有kx=k'x=k'x,k,=k'=k"即ksing=k'sing'=k'sing"(4.61)将(4.59)式代入上式，得0'=0反射定律(4.62)10

电导率σ 和波的频率ω 越高,δ 越小,这现象称为导体的高频趋肤效应. 4.4 电磁波在界面的反射和折射 经典光学和电动力学——电磁波的反射和折射现象 （1）决定于界面两边介质的电磁性质和边值关系: 0)( × − EEe 12n = , n f12 × − HHe )( = α (4.58) （2）假定反射波和折射波的频率,与入射波的频率相同(忽略了介质内原子或分子对电 磁波散射，或吸收、再发射等复杂的量子过程). 事实上，电磁波（光）与介质的互作用是量子过程，与介质的分子结构、电磁波的强度、 频率、以及温度都有关.Compton 散射（P239，26 题）表明，散射波频率比入射波频率低. 反射定律和折射定律 设界面为 z = 0的平面,以θ ,θ ′ ,θ ′′分别表示入射角、反射角和折射角, 频率 ω = ω′ = ω′′ 1 11 = ′ / vkk == εμωω , 2 22 ′′ / vk == εμωω (4.59) 入射波 )( 0 t-i e xk ω EE ⋅ = 反射波 )( 0 t-i e xk ω EE ′⋅ ′ = ′ 折(透)射波 )( 0 t-i e xk ω EE ′′⋅ ′′ = ′′ 在 z = 0的界面,由边值关系 0)( × − EEe 12n = ,有 xk xk xk EeEEe ⋅ ′⋅ ′′⋅ +× ′ ×= ′′ i i i ee e 0z 0 0z ( ) 在整个 z = 0的平面上,上式均成立,必须有 ⋅ = ′⋅ = ′′⋅ xkxkxk (z = 0 ) (4.60) 若入射面 xz 平面, 则 = ′ = kkk ′ yyy ′ = 0 .由(4.60)有 xkxkxk xxx = ′ = ′′ , xxx = ′ = kkk ′′ 即 θ = ′sinsin θ′ = kkk ′′sinθ′′ (4.61) 将(4.59)式代入上式,得 反射定律 θ ′ =θ (4.62) 10