《电动力学》课程教学资源（习题解答）第二章 静电场

电动力学习题解答参考第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度P=K电容率为ε。1(1)计算束缚电荷的体密度和面密度；(2)计算自由电荷体密度；(3)计算球外和球内的电势；(4)求该带电介质球产生的静电场总能量。解： (1)1Pp=-V.P=-KV.-=-K(V--V.F)=-K/r2F+2r2Op=-n.(P,-P)r又：球外无极化电荷..P =0o,=nPle=n.2R=K/R(2)由公式D=sED=6E+P.: D=_cP6-80EK6 P, =V.D=-V.P=(8-80)r?6-60(3)对于球外电场，由高斯定理可得：JE外·ds=60EK?sinedrdedoPrdy(8-80)r2.E外·4元6080CKR..E外=60(6-80)r3KF同理可得球内电场：E三—6-80r2EKR-dr=：.球外电势?外80(8-80)r1

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 1 - 1.一个半径为 R 的电介质球 极化强度 P=K 2 r r 电容率为 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度 (2)计算自由电荷体密度 (3)计算球外和球内的电势 (4)求该带电介质球产生的静电场总能量 解 (1) 2 2 2 2 ) / 1 1 ( r K r r r r K r r P = −∇ ⋅ P = −K∇ ⋅ = − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − r r r r ρ P n P P R ( ) 2 1 r r r σ = − ⋅ − 又 球外无极化电荷 0 P2 = r K R r r p n P R n K R / 1 2 = ⋅ = ⋅ = r r r r σ (2) 由公式 D E r r = ε D E P r r r = ε 0 + 0 ε ε ε − = P D r r 2 0 0 ( )r K f D P ε ε ε ε ε ε ρ − ∇ ⋅ = − = ∇ ⋅ = r r ` (3)对于球外电场 由高斯定理可得 ∫ ⋅ = 0 ε Q E ds r r 外 0 2 2 0 0 2 sin ( ) 4 ε θ θ ϕ ε ε ε ε ρ π ∫∫∫ ∫ ⋅ − ∴ ⋅ = = r drd d r K dV E r f 外 r r ( )r 3 0 0 r r ε ε ε ε − ∴ KR E外 同理可得球内电场 2 0 r K r E r r ⋅ ε − ε 内 球外电势 外 外 ( )r dr 0 0 ε ε ε ε ϕ − ∴ ⋅ ∫ ∞ ∞ KR E r r

电动力学习题解答参考第二章 静电场RcKKRLTE球内电势?A?dr+drIn-80(6-6)6-60raeK2FKFK51D·E（4）0内r2r22(—)2226-60-cK2K..W丙=[丙dV=[]2·’sindrdd=2R（(6-60)r28-602元起RK2"K?R?W-[oxdV= [.r"sinadrdedo0(8-)60(6-60)2K..W=W+W外=2元eR(1+三)6-6802．在均匀外电场中置入半径为R。的导体球，试用分离变数法球下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差邮o；（2）导体球上带总电荷Q解：（1）当导体球上接有电池，与地保持电势差Φ.时，以地为电势零点本问题的定解条件如下肉二中(R=R。)[P外|R→=-E,RcosO+Po外=0（R>R）且（。是未置入导体球[P外| R=R =中。前坐标原点的电势）bnZa,R"+)P(cosの)根据有关的数理知识，可解得：外一Rtn=0由于P=-E.RcosO+即：甲林=ao+a,Rcoso+Za,R"P,(cos0)+++ coso +ZP,(coso) =-E Reos0 +Po=2Rn+R"R?n=2故而有ag=o,a,=-Eo,a,=0(n>1),b,=0(n>1). P外=0。-E Rcos0+ bo+bcosoRR?-2-

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 2 - r R ln ( ) dr dr r 0 0 0 ε ε ε ε ε ε ϕ − + − ⋅ ⋅ ∫ ∫ ∞ K K E E R R 球内电势 内 外 内 r r r r 4 2 0 2 2 0 2 0 r 2 r r r r 2 1 2 1 内 内 内 ε ε ε ε ε ε ε ε ω K K K D E r r r r ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ ∫ ∫∫∫ − ⋅ − ∴ ⋅ 2 0 2 2 2 0 2 r sin drd d 2 ) 2 ( ) r 1 d ε ε θ θ ϕ πε ε ε ε ω K R K W内 内 V ∫ ∫∫∫ − ⋅ ⋅ − = ⋅ 2 0 0 2 2 2 2 4 0 0 2 2 2 ( ) 2 r sin drd d r 1 2 ( ) 1 d ε ε ε πε θ θ ϕ ε ε ε ε ω K R RK W V 外 外 R 2 0 0 2 (1 )( ) ε ε ε ε πε − ∴ = + K W W内 W外 R 2 在均匀外电场中置入半径为 R0 的导体球 试用分离变数法球下列两种情况的电势 1 导体球上接有电池 使球与地保持电势差 ; φ 0 2 导体球上带总电荷 Q. 解 1 当导体球上接有电池 与地保持电势差φ 0时 以地为电势零点 本问题的定解条件如下 φ内 φ 0 R= R0 0 2 ∇ ϕ 外 R> R0 且     = = − = →∞ 0 0 0 0 cos ϕ φ ϕ θ ϕ R R R E R 外 外 ϕ 0 是未置入导体球 前坐标原点的电势 根据有关的数理知识 可解得 cos ) R a R n 1 n n n n n 0 ϕ 外 P θ b ∑ ∞ 由于 0 0 ϕ 外 E Rcosθ ϕ R = − →∞ 即 0 0 2 2 1 0 1 2 0 1 ϕ a + cosθ + (cosθ ) + + cosθ + (cosθ ) →∞ = − cosθ +ϕ ∞ = + ∞ = ∑ ∑ P E R R b R b R b a R a R P R n n n n n n n 外 n 故而有 , , 0( 1), 0( 1) a0 = ϕ 0 a1 = −E0 an = n > bn = n > ϕ ϕ θ cosθ b cos 2 0 1 0 0 R b R ∴ 外 E R +

电动力学习题解答参考第二章 静电场R-。=0,即：外,=。EgReoso++负又外coso=R。R2bo=0oPo+Ro故而又有：b-E.R.cosO+cos0=0R得到：b。=(-Po)Ro,b, = E.R?最后，得定解问题的解为：(d。-Po)RoER)P外=-E,Rcoso+。+cosO(R>R.)RR（2）当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的方式是：V蜗=0(RR)纳|R-0=有限中外R-=一ERcosO+P(p。是未置入导体球前坐标原点的电势）二中外|R=Rs 0啤 ds-(R= Ro)-560OR解得满足边界条件的解是①外=9-E,Rcos0+b.甲丙=Za.R"P,(cos0)P(cos)n=oRn+In=0由于P外R-的表达式中，只出现了P(cosの）=cos项，故，b，=O(n>1)+bo+bi..P外=P—E.Rcos0+-cosoRR?又有?外|R=R。是一个常数（导体球是静电平衡）甲外 RR, = 0-ExRecos0+bo+bLcOs=CRR.b,.. -E.R.cosO+cos=0即：b,=E,R3R-3-

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 3 - 又 2 0 0 1 0 0 0 0 0 cos b , cos 0 0 ϕ = = φ ϕ = = ϕ − θ + θ = φ R b R 外 R R 即 外 R R E R 故而又有        − + = + = ∴ cos cos 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 θ θ ϕ φ R b E R R b 得到 2 0 0 0 0 1 0 0 b = (φ −ϕ )R ,b = E R 最后 得定解问题的解为 cos ( ) ( ) cos 0 3 0 0 0 0 0 0 0 R R R E R R R E R + > − = − + + θ φ ϕ ϕ 外 θ ϕ 2 当导体球上带总电荷 Q 时 定解问题存在的方式是              = ∂ ∂ − + ∇ > ∇ ϕ ϕ θ cosθ b cos 2 0 1 0 0 R b R ∴ 外 E R + 又有 外 R=R0 ϕ 是一个常数 导体球是静电平衡 C R b R ϕ R=R = ϕ − E R θ + cosθ = b cos 2 0 1 0 0 外 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 1 0 0 cos cos 0 b E R R b ∴−E R θ + θ = 即 =

电动力学习题解答参考第二章静电场P外=Po-E,Rcoso+bo+EoR-cosoRR?外ds-QQ又由边界条件-fo。.. bo =r4元80gP.RRo甲外R?4元8R3．均匀介质球的中心置一点电荷Q，球的电容率为6，球外为真空，试用分离变数法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较提示：空间各点的电势是点电荷Q.的电势2/2/4元eR与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加，后者满足拉普拉斯方程。解：一，高斯法在球外，R>R,由高斯定理有：8ofE·ds=Q总=Q,+Qp=Qf，（对于整个导体球而言，束缚电荷Qp=0)9f.E=-4元0R?Qr积分后得：P外一+C.(C是积分常数）4元.R又由于P外|R-=0,.C=09,(R>Ro).9外=4元6R在球内，R<Ro,由介质中的高斯定理：fD.ds=Qf0fXD=.E-4元cR?Qr+C,(C,是积分常数）积分后得到：肉4元R- 4 -

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 4 - ϕ ϕ cosθ cosθ 2 3 0 0 0 0 0 R E R R b 外 E R + + 又由边界条件 Q 外 ∫ ∂ ∂ − s 0 ds r φ ε 0 0 4πε Q ∴b = 0, 0 0 0 R 4 R R Q ∴ −ϕ πε ϕ 3 均匀介质球的中心置一点电荷Qf 球的电容率为ε 球外为真空 试用分离变数法求 空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示 空间各点的电势是点电荷Qf 的电势 R Q 4πε f 与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加 后者满足拉普拉斯方程 解 一. 高斯法 在球外 R > R0 ,由高斯定理有 Q Qf QP Qf E ⋅ ds = + = ∫ 总 r r 0 ε 对于整个导体球 而言 束缚电荷 = 0) QP 2 4 0R Q E f πε ∴ = r 积分后得 外 C C是积分常数 R Q .( 4 0 f + πε ϕ 又由于 →∞ = 0,∴C = 0 ϕ 外 R ( ) 4 0 0 R R R Qf ∴ = > πε ϕ 外 在球内 R < R0 ,由介质中的高斯定理 ∫ ⋅ = Q f D ds r r 又 2 4 , R Q D E E f πε = ε ∴ = r r r 积分后得到 内 f 2 .( 2是积分常数 4 C C R Q + πε ϕ

电动力学习题解答参考第二章静电场OQr+CR故而有：由于肉二4元R。4元R9,0,(RRo外4元8R.QrQrQr,R<RoP肉4元R4元80R4元R。-5-

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 5 - 由于 2 0 0 0 f 4 4 , 0 C R Q R Q f R=R = + πε πε ϕ 内 ϕ 外 故而有 ( ). 4 4 0 0 0 0 2 R R R Q R Q C f f ∴ = − ∴ 0 0 f 0 0 f f 0 0 f , 4 4 4 , 4 R R R R Q R Q R Q R R Q πε πε πε ϕ πε ϕ 内 外

电动力学习题解答参考第二章 静电场4，均匀介质球（电容率为6）的中心置一自由电偶极子P，，球外充满了另一种介质（电容率为6，，求空间各点的电势和极化电荷分布。P,.R提示：同上题，d:+而满足拉普拉斯方程。4元起,R3中肉中外解：6162ORaR中肉2P,cos0又1A,R-P)60RoaR4元6,R中啡2P,cos0B,Z(I+1)=6,(-RiP)62ORR4元,R比较P(cosの)系数：Bo=0,A=0282Pf2pj262B,及4 =B+8,A =4元6,RRe4元RRo2(6 -82)Pf2() -62)Pf得：AB4元(6 +2862)4元81(61 +262)R比较P(cosの)的系数：3B2,4=B28/4,Ro=-RoRo1及A(1+)= 06,Ro所以 A, = 0,B, =0。同理，A, = B, =0,(I=2,3...)最后有：P,.RPy.R2(8 -62)P, -R2(6 -82)PfRcoso=中国(R Ro)4元6,R34元8) (6 +262)R24元6,R34元1(6)+282)R3- 6 -

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 6 - 4 均匀介质球 电容率为 1 ε 的中心置一自由电偶极子 Pf r 球外充满了另一种介质 电 容率为 2 ε 求空间各点的电势和极化电荷分布 提示 同上题 ' 4 3 1 φ πε φ + ⋅ = R Pf R r r ,而φ'满足拉普拉斯方程 解 R ∂R ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 1 2 又 内 = − +∑ ∂ ∂ l l 1 3 l 0 1 0 f 1 1 l 4 2 cos ( 0 A R P R P R R πε θ ε φ ε = − −∑ ∂ ∂ 外 2 l l 0 l 3 1 0 f 2 2 (l 1 4 2 cos ( 0 P R B R P R R πε θ ε φ ε 比较 Pl (cosθ )系数 B0 0 A0 0 3 0 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 3 1 1 0 , 2 4 2 4 2 R B A R B R A R f f + = − − 及 = ε πε ε ρ ε π ρ 得 4 ( 2 ) 2( ) , 4 ( 2 ) 2( ) 1 1 2 1 2 1 3 1 1 2 0 1 2 1 πε ε ε ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ + − = + − = f f B R A 比较 P2 (cosθ )的系数 4 0 2 4 2 0 2 1 2 0 , 3 2 R B A R B ε A R = 及 ) 0 1 (1 1 0 2 + = R A ε 所以 A2 = 0, B2 = 0 同理 A = B = 0,(l = 2,3L) l l 最后有 ,( ) 4 ( 2 ) 2( ) 4 cos 4 ( 2 ) 2( ) 4 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 3 1 1 2 0 1 2 3 1 R R R R R R R R R f R f f f + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ = + − + ⋅ π ε ε ρ πε ε ε ε ε ρ πε ρ θ πε ε ε ε ε ρ πε ρ φ r r r r r r r r 外

电动力学习题解答参考第二章 静电场球面上的极化电荷密度Gp=Pin-P2n，n从2指向1，如果取外法线方向，则p=P外n-P球n=[(62-60)VΦ外)n-[(6)-60)VΦ肉)]m0 +(61 -0)-肉=-(82 -60)-ORR=RaR-6prcoso6(60 -62)P, cos02(6, -82)-2(6 + 282)Prcoso=(82 -60)R3 -(6] -80)[-4元(6)+262)R4元(81 +282)R4元8,(+282)R681(60 -82)+682(8) -80)380(81-82)Prcos=25(6) +265,)R Py COsO4元（6+2)R求极化偶极子：P，=qi可以看成两个点电荷相距1，对每一个点电荷运用高斯定理，就得到在每个点电荷旁边有极化电荷p=(-1)4,-p=(-1)-4)，两者合起来就是极化偶极子616(0-1)PP, =65.空心导体球壳地内外半径为R，和R2，球中心置一偶极子P，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布。解：oV, = 0,/r- = 092 = C,021r-0= 00p.r4元3+510为有限值d==2岛(co0),3, =-C 02 =C,02|r=R =CP,.rf0p dsfo00=4mor+Z4r'P(coso)-ds中r=R+r=RarOrJ60-7-

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 7 - 球面上的极化电荷密度 P P n P n n r , σ = 1 − 2 从 2 指向 1 如果取外法线方向 则 p P n P n n n [( ) )] [( ) )] σ = 外 − 球 = ε 2 − ε 0 ∇φ 外 − ε 1 − ε 0 ∇φ内 0 ( ) ( ) 2 0 1 0 R R R R 外 内 ∂ ∂ + − ∂ ∂ = − − φ ε ε φ ε ε cos ] 4 ( 2 ) 2( ) 2( 2 ) 4 ( 2 ) 6( ) cos ( )[ 4 ( 2 ) 6 cos ( ) 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 2 0 0 2 1 0 3 1 2 0 2 0 ρ θ πε ε ε ε ε ε ε π ε ε ε ε ρ θ ε ε π ε ε ρ θ ε ε f f f R R + R − − + − + − − − + − = − ρ θ πε ε ε ε ε ε ρ θ πε ε ε ε ε ε ε ε ε cos 2 ( 2 ) 3 ( ) cos 4 ( 2 ) 6 ( ) 6 ( ) 3 1 1 2 0 0 1 2 3 1 1 2 0 1 0 2 2 1 0 f f R + R − = − + − + − = 求极化偶极子 P ql f r r = 可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 ( 1) , ( 1)( ) 1 0 1 0 P f P f q = − q −q = − −q ε ε ε ε 两者合起来就是极化偶极子 PP Pf r r ( 1) 1 0 = − ε ε 5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2 球中心置一偶极子 P r 球壳上带电 Q 求空间各点 电势和电荷分布 解          + ⋅ = = = ∞ ∇ = = → → →∞ 3 1 ' 1 ' 0为有限值 0 1 2 2 0 3 3 2 , 4 , 0, 0 r r r r P r C φ φ πε φ φ φ φ φ r r          = ∂ ∂ + ∂ ∂ + − ⋅ = = = = ∑ ∫ ∫ ∑ = = = + − 0 3 1 3 0 1 2 2 3 1 3 2 1 1 2 (cos ) 4 , (cos ), ε φ φ θ πε φ φ φ φ θ φ Q dS r dS r A r P r P r C C P C r B l r R r R l l f r R l l r R l r r R2 R1 φ 3 φ 1 φ 2

电动力学习题解答参考第二章静电场[Bo,B,B2coso++2P,=CR2R2R2P,coso+ Ao +A,R, cosO+...=C4元R?P,Bo =C,(A,R, +即:)cos0 = 0,B, = 0(1 = 1.2.3.), A, = 0(1 = 2.3.4...)Ao =R24元R?2P, cos0P,coso又:00IA,R-PL+ A, coso+...ar2元0R34元60R003B,Bo-2 B(-1-1)+cosO+..OrR?"R?Bofds = 4zrR B003f Bods=4元B。ds.则：R?R2JR?2OrP00Pcos OR? sin Gdedp +cosoR?sinodedp=0+0=0d2元6.R4元.R0031 = 4元B。= r00i故：-ds +arar609Q-PfBo =AoA4元804元0R24元60R最后有：P,-p.rQe(rR2)?4元0,(R <r<R2)24元R电荷分布：在r=R,的面上odi _-Py coso-P,cosP, cose0P=802元R4元ROr4元R3在r=R,面上Qad3Op, =-60ar4元R2-8 -

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 8 -        + + + = + + + = A A R C R P P C R B R B R B f L L θ πε θ θ cos 4 cos cos 0 1 1 2 0 1 3 2 2 2 2 2 1 2 0 即 ) cos 0, 0( 1.2.3 ), 0( 2.3.4 ) 4 ,( 2 1 1 1 2 0 0 = = + = B = l = L A = l = L R P C A R R B A l l f θ πε ∑ ∑ = − − = − − + ∂ ∂ = − + = − + + ∂ ∂ + − L L θ φ θ πε θ πε φ θ ( 1) 2 cos cos 2 cos 4 2 cos 3 1 1 2 1 0 2 3 3 1 0 1 1 3 1 0 1 1 R B R B P r B l r A R P lA R P R P r l l l f L l l f 又 则 ∫∫ ∫ = = = = ∂ ∂ − 2 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 3 0 4 4 B R B dS R R B dS R B dS r π π φ cos sin 0 0 0 4 cos sin 2 2 0 0 2 3 1 0 1 2 0 0 2 3 1 0 1 1 = + = − = − + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ π π π π θ θ θ ϕ πε θ θ θ ϕ πε φ R d d R P R d d R P dS r f f 故 ∫ ∫ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ − 0 0 3 1 4 ε π φ φ Q B r dS r 3 0 1 1 0 2 0 0 0 4 , 4 , 4 R P A R Q A Q B f πε πε πε − = = = 最后有            = + < ⋅ − ⋅ = ,( ) 4 ,( ) 4 ,( ) 4 4 4 1 2 0 2 2 2 0 3 1 0 2 3 0 1 2 0 1 R r R R Q r R r Q r R R Q R P r r P r f πε φ πε φ πε πε πε φ r r r r 电荷分布 在 r R1的面上 3 1 3 1 3 1 1 0 4 cos 4 cos 2 cos 1 R P R P R P r f f f P π θ π θ π φ θ σ ε = − − + − = ∂ ∂ = 在 r R2面上 2 2 3 0 4 2 R Q r P π φ σ ε = ∂ ∂ = −

电动力学习题解答参考第二章静电场6.在均匀外电场E。中置入一带均匀自由电荷P，的绝缘介质球ε，求空间各点的电势。B=Z(Ar+二41)P(cos0)12+Φ解：3600frV0=0中芮是由高斯定理解得的，P，的作用加上E。的共同作用。中外r→=-Eorcos,中ro有限x=-Eorcos0+乙号品P(cos0)1[0= P,r +Ecr'P(oso)中=中外(r=R）：-E.R.cosO+B+B+P+P,R' +c. +cR, cosO+c,R'P +R3R。R2B.即%R?+C=AR66Bl-E.R +=c,R.RB2=c,R?R3a中肉中外660Orar中肉PfI-P,(cos0) J P Ro + C; cos0 + 2ec, RoP, +..Ro +lc,Roar362钟外= 6o(-E. cosO +Z(-1-1) BP)R.142ar- 9 -

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 9 - 6 在均匀外电场 E0 r 中置入一带均匀自由电荷 ρ f 的绝缘介质球ε 求空间各点的电势 解          ∇ = + ∑ + + 0 6 1 ( ) (cos ) 2 ' 2 ' 1 φ ρ φ ε φ φ θ r P r B A r f l l l l l 内 外 φ内是由高斯定理解得的 ρ f 的作用加上 E0 r 的共同作用 0 ' 0 φ 外 r→∞ = −E r cosθ ,φ r→ 有限        + + ∑ ∑ + (cos ) 6 1 cos (cos ) 2 0 1 ρ θ ε φ φ θ θ l l f e l l l r c r P P r B E r 内 外 ) : R0 φ内 φ 外 r = + + + 2 + 3 0 2 2 0 1 0 0 0 0 cos P R B R B R B E R θ + + + 2 + 2 1 0 2 0 2 0 cos 6 1 0 ρ f R c c R θ c R P ε 即 0 0 0 2 0 6 R B R c f + = ε ρ 2 1 0 0 1 0 0 c R R B E R + = 2 3 2 0 0 2 c R R B = r ∂r ∂ = ∂ ∂ 内 φ 外 ε φ ε 0 ∑ + = − + − − ∂ ∂ ( cos ( 1) ) 2 0 0 0 l l l R B P E l r ε θ φ 外  ] = + + +L   = + ∂ ∂ ∑ − 0 1 2 0 2 1 0 0 cos 2 3 (cos ) 3 R lc R P R c c R P r f l l l f ε θ ε ρ θ ε φ内 ρ

电动力学习题解答参考第二章静电场28,BCBo36.B,-E,cos0-cose.PR?R3R*PL6.Bo28.B36.B2即：R.2eC,R,C,=-6.E.3R?RoR4R:解方程得：B。 =Co=-Rpr(3e,0,6626B --3eEeRi +EoRi36.E0Cf = --6+2808+280及：28C,R。=-38RC2即 C(2cR。+36R)=0C, = B, = 0同理：C,=B,=01-23.....RoPLEoR3e.E,RcosO.中外=Eorcose±coso,r>R.r2(+260)r23r60得：113e-Eorcos0,r>，及C,>>,两种情况的电流分布特点。先求空间电势：[v蜗=0中肉二中外r= RoV外=0因为，二8外（r=R。）（稳恒电流认为表面无电流堆积，即流入，=流出，）20±=0，32中外故：12r2r并且8外=8。即中外r→=-Eorcoso(jf=0,Eo)蜗→有限可以理解为在恒流时r→0的小封闭曲面流入=流出- 10 -

电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 10 - − − − − 4 2 +LL 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 cos 2 cos P R B R B R B E ε θ ε ε ε θ 即 2 0 0 0 0 3 R B R ρ f ε = − 3 0 0 1 1 0 0 2 R B C E ε ε = −ε − 2 0 0 4 2 LL 3 2 R B C R ε ε = − 解方程得 f R B ρ ε 0 3 0 0 3 = − ) 6 1 3 1 ( 0 2 0 0 ε ε C = −R ρ f + 3 0 0 0 3 0 0 0 1 2 3 E R E R B + + = − ε ε ε 0 0 0 1 2 3 ε ε ε + = − E C 及 2 C2R0 3 0R0C2 ε = − ε 即 C2 (2εR0 + 3ε 0R0 ) = 0 C2 = B2 = 0 同理 = = 0 Cl Bl l = 2,3LL 得        + ± + − 0 2 0 0 0 2 0 2 2 0 0 3 0 0 0 2 3 0 0 0 3 0 0 cos , 2 3 6 1 3 1 ( 6 cos , ( 2 ) 3 cos 3 cos r r R E r R r R r E R r E R r R E r f f f θ ε ε ε ε ε ρ ε ρ φ θ ε ε ε θ ε ρ φ θ 内 外 7 在一个很大的电解槽中充满电导率为σ 2 的液体 使其中流着均匀的电流δ f 0 今在液 体中置入一个电导率为 σ 1 的小球 求稳衡时电流和电荷分布 讨论 σ 1 >> σ 2 及 σ 2 >> σ 1两种情况的电流分布特点 先求空间电势     ∇ ∇ 0 0 2 2 外 内 φ φ φ内 φ 外 R0 r = 因为 ( ) R0 r δ 内n δ 外n = 稳恒电流认为表面无电流堆积 即流入n = 流出n 故 r 2r 2 2 2 1 2 内 φ 外 σ φ σ = 并且δ →∞ = δ 0 外 r 即 φ 外 r→∞ = −E0 r cosθ ( ) 0 2E0 j f = σ φ内 r→∞有限 可以理解为在恒流时r → 0 的小封闭曲面流入 流出