《电动力学》课程教学资源（习题解答）第三章 静磁场

电动力学习题解答参考第三章静磁场1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B。，写出A的两种不同表示式，证明两者之差是无旋场。解：B。是沿z方向的均匀的恒定磁场，即B。=Bé.，且B。=V×AaA,0A, _0Ar)e.OA.OA_QA.)在直角坐标系中，V×A=)e,+()e.+(OzOzOyaxaxayaA._aA,2=0ayo2aA,_aA. =0如果用A在直角坐标系中表示B。，即：OzaxaA,_aA,= 0axdy由此组方程，可看出A有多组解，如：解1:A,=Az=0,A,=-Boy+f(x)A=[-Boy+ f(x)je,即：解2:A,=A,=0,Ay=B,x+g(y)即：A=[Box+ g(y)]je,解1和解2之差为：A=[-Boy+f(x)je,-[Box+g(y)]e则：Vx(AM) =[(M): _ 0(M),10(M), _a(M)je:E +[(M)_a(M)1Te+OzOzaxaxdyay=0这说明两者之差是无旋场。2．均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B。解：根据题意，得右图，取螺线管的中轴线为z轴本题给定了空间中的电流分布，故可由B=。dV"求解磁场分布，又j在导4元r线上，所以B=Jdi×734元／1）螺线管内：由于螺线管是无限长理想螺线管，故，由电磁学的有关知识知，其内部磁-1-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 1 - 1. 试用 A r 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 r 写出 A r 的两种不同表示式 证明两者之 差是无旋场 解 B0 r 是沿 z 方向的均匀的恒定磁场 即 z B Be r r 0 = 且 B A r r 0 = ∇ × 在直角坐标系中 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = 如果用 A r 在直角坐标系中表示 B0 r 即          = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 0 y A x A x A z A z A y A y x x z y z 由此组方程 可看出 A r 有多组解 如 解 1 0, ( ) 0 A A A B y f x y = Z = x = − + 即 x A B y f x e r r [ ( )] = − 0 + 解 2 0, ( ) 0 A A A B x g y x = z = Y = + 即 y A B x g y e r r [ ( )] = 0 + 解 1 和解 2 之差为 x y A B y f x e B x g y e r r r [ ( )] [ ( )] ∆ = − 0 + − 0 + 则 z y x y x z x z y e y A x A e x A z A e z A y A A r r r r ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) [ ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ ∇ × ∆ = 0 这说明两者之差是无旋场 2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管 每单位长度线圈匝数为 n 电流强度为 I 试用唯一性定 理求管内外磁感应强度 B 解 根据题意 得右图 取螺线管的中轴线为 z 轴 本题给定了空间中的电流分布 故可由 ∫ × = ' 4 3 0 dV r J r B r r r π µ 求解磁场分布 又 J r 在导 线上 所以 ∫ × = 3 0 4 r Jdl r B r r r π µ 1 螺线管内 由于螺线管是无限长理想螺线管 故 由电磁学的有关知识知 其内部磁

电动力学习题解答参考第三章静磁场场是均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。由其无限长的特性，不妨取场点为零点，以柱坐标计算：F=-acospé,-asinp'é,-ze,di =-adp'.sing'é,+adp'.cosp'é,:.dixr=(-adpsinp'e.+adpcosp'é)x(-acosp'e-asinp'e,-z'e.)=-az'cosp'dp'é,-az'sinp'dp'é, +a'dp'e取由z-=+dz'的以小段，此段上分布有电流nldz. = wd'(-a'cosp'do'e, -a'sing'dp', +a'd'2)4元[α’ +(=)ja'dzHo'dpnlμo"nle.=nuol4元。2[a? +(2)][(三) +1%2)螺线管外部：由于是无限长螺线管，不妨就在xoy平面上任取一点P(p,p.0)为场点(p>a)=-刘=pcosp-acosp)?+(psinp-asingp')+22p?+a+22-2apcos(p-p')r=x-x=(pcosp-acosp')e,+(psinp-asinp')e,-zedi =-adp'-sinp'é,+adp'cosp'é,..di xF = -az'cosp'dp'er -az'sin p'dp'é, +[a? -apcos(p'-p)]dp'é... fo.mitf douja.cosg'de"e,d'+ Jdo'j-a'sing'doé,dz+r3r34元00a? -apcos('- dz'e.]+[dp'[r30由于磁场分布在本题中有轴对称性，而螺线管内部又是勾强磁场，且螺线管又是无限长，故不会有磁力线穿出螺线管，上述积分为0，所以B=0。- 2 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 2 - 场是均匀强磁场 故只须求出其中轴线上的磁感应强度 即可知道管内磁场 由其无限长的特性 不妨取场点为零点 以柱坐标计算 x y x r a e a e z e r r r r = − cosϕ' − sinϕ' − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' ( ' sin ' ' cos ' ) ( cos ' sin ' ' ) x y x y x dl r ad e ad e a e a e z e r r r r r r r ∴ × = − ϕ ⋅ ϕ + ϕ ⋅ ϕ × − ϕ − ϕ − x y z az d e az d e a d e r r r 'cos ' ' 'sin ' ' ' 2 = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ 取由 z'−z'+dz' 的以小段 此段上分布有电流 nIdz' ∫ + − − + ∴ = 2 3 2 2 2 0 [ ( ') ] '( 'cos ' ' 'sin ' ' ' ) 4 a z nJdz az d e az d e a d e B x y z r r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ n I a z a z d nI nIe a z a dz d z 0 2 3 2 0 2 3 2 2 2 2 0 0 ) 1] ' [( ) ' ( 2 [ ( ') ] ' ' 4 µ µ ϕ π µ π = + ⋅ = + = ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ ∞ −∞ r 2)螺线管外部:由于是无限长螺线管 不妨就在 xoy 平面上任取一点 P(ρ,ϕ.0) 为场点 (ρ > a) 2 2 2 ∴ r = x − x' = (ρ cosϕ − a cosϕ') + (ρ sinϕ − asinϕ') + z' r r ' 2 cos( ') 2 2 2 = ρ + a + z − aρ ϕ −ϕ r = x − x'= ( r r r x a e r ρ cosϕ − cosϕ') y z a e z e r r (ρ sinϕ − sinϕ') − ' x y dl ad e ad e r r r = − ϕ'⋅sinϕ' + ϕ'⋅cosϕ' x y z dl r az d e az d e a a d e r r r r r 'cos ' ' 'sin ' ' [ cos( ' )] ' 2 ∴ × = − ϕ ϕ − ϕ ϕ + − ρ ϕ −ϕ ϕ ∴ = ⋅ − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ' 'sin ' ' ' ' 'cos ' ' [ ' 4 3 2 0 3 2 0 0 e dz r az d e dz d r az d B nI d x y r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π µ π π ' ] cos( ' ) ' 3 2 2 0 ∫ ∫ ∞ −∞ − − + z dz e r a a d ρ ϕ ϕ r ϕ π 由于磁场分布在本题中有轴对称性 而螺线管内部又是匀强磁场 且螺线管又是无限 长 故不会有磁力线穿出螺线管 上述积分为 0 所以 B = 0 r

电动力学习题解答参考第三章静磁场3.设有无究长的线电流I沿z轴流动，以70区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。解：本题的定解问题为：[v2A, = -μoj,(2 >0)V2A =-,(20)2元B-由此可推测本题的可能解是：μulég,(z0)2元综上所述，由唯一性定理可得，本题有唯一解：B=ulég,(z<0)2元BB2_H在介质中，H=-M，故在z<0的介质中，M=μoμo-3-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 3 - 3. 设有无穷长的线电流 I 沿 z 轴流动 以 z0 区 域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B 然后求出磁化电流分布 解 本题的定解问题为          ∇ × = ∇ × = ∇ = − = = = 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 0 2 1 1 ,( 0) ,( 0) z z z A A A A A J z A J z r r r r r r r r µ µ µ µ 由本题具有轴对称性 可得出两个泛定方程的特解为 ∫ ∫ = = r Idl A x r Idl A x r r r r r r π µ π µ 4 ( ) 4 ( ) 2 0 1 由此可推测本题的可能解是        = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 验证边界条件 1 , ( ) 0 A1 = A2 z=0 n ⋅ B2 − B1 = r r r r r 即 题中 n = e , e ⋅ eθ = 0 z z r r r r 且 所以边界条件 1 满足 2 , ( ) 0 1 1 1 0 2 1 0 ∇ × A2 z=0 = ∇ × A z= n × H − H = r r r r r 即 µ µ 本题中介质分界面上无自由电流密度 又 θ θ µ π µ π e r B I H e r B I H r r r r r r 2 2 2 2 0 1 1 = = = = 0, ∴ H2 − H1 = r r 满足边界条件 ( ) 0 n × H2 − H1 = r r r 综上所述 由唯一性定理可得 本题有唯一解        = ,( 0) 2 ,( 0) 2 0 e z r I e z r I B θ θ π µ π µ r r r 在介质中 M B H r r r = − µ 0 故在 z<0 的介质中 2 0 2 H B M r r r = − µ

电动力学习题解答参考第三章 静磁场IL.He.I(H-1ee即：M=e.2μo2元2元μ0介质界面上的磁化电流密度：II(-1)e,-1)egxe.am=Mxn2元rμo2元μ0-(μ-1)e。·r·dp·,=I(二-1), 电流总的感应电流：JM=M-dl=12元Hoo在z0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中得磁场分布仍呈轴对称，则可写作B=uTe2元rn-(B, -B)=0其满足边界条件：nx(H,-H)=α=0即可得，在介质中：Bu'lH, =e2元ruμBu'l公而H,e.-M2r0Moμlμ-HoeM=：在x<0的介质中，2元o则IM=Mdi，取积分路线为B→C→A→B的半圆。:ABle.,AB段积分为零Iw = I"(μ-M)2μpo.. B= Ho(I+IM)a2元r:由4o(I+/M)2μpo=B=-ulé，可得μ2元2元μ+μo- 4 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 4 - 即 θ θ θ µ µ µ π π µ π e r I e r I e r I M r r r r ( 1) 2 2 2 0 0 = ⋅ − = − ∴ 介质界面上的磁化电流密度 M z r e r I e e r I M n r r r r r r ( 1) 2 ( 1) 2 0 0 = × = − × = − µ µ µ π µ π α θ 总的感应电流 ( 1) ( 1) 2 0 2 0 0 = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ∫ ∫ µ µ ϕ µ µ π π θ θ e r d e I r I J M dl M r r r r 电流 在 z0 空间为真空 今有线电流 I 沿 z 轴流 动 求磁感应强度和磁化电流分布 解 假设本题中得磁场分布仍呈轴对称 则可写作 ϕ π µ e r I B v v 2 ′ = 其满足边界条件 ( ) 0 ( ) 0 2 1 2 1 × − = = ⋅ − = α v v v v v v v n H H n B B 即可得 在介质中 ϕ π µ µ µ e r B I H v v v 2 2 ′ = = 而 e M r I M B H v v v v v − ′ = − = ϕ π µ µ µ 0 0 2 2 ∴在 x<0 的介质中 ϕ µµ µ µ π µ e r I M v v 0 0 2 ′ − = 则 ∫ I = Mdl M v v 取积分路线为 B → C → A → B 的半圆 , ϕ AB e v Q ⊥ ∴ AB 段积分为零 0 0 2 ( ) µµ µ′ µ − µ = I I M ϕ π µ e r I I B M v v 2 ( ) 0 + ∴ = ∴由 ϕ ϕ π µ π µ e r I e B r I I M v v v 2 2 ( ) 0 ′ = = − + 可得 0 0 2 µ µ µµ µ + ′ =

电动力学习题解答参考第三章静磁场:空间B=o！0u+μorH-HoIIM=4(沿z轴)μ+μo5.某空间区域内有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知B.~B。-C(z22），其中Bo为常量，试求该处的B。。提示：用V.B=0,并验证所得结果满足V×H=0解：由B具有轴对称性，设B=B,e。+B.e.，其中B=B。-c(2-02:V.B=0a1a(pB)+B. =0Ozpap1a即-(pB。)-2cz=0pB。=czp2+A(常数)pap取A=0，得B。=czp.. B= czpe。 +[B。 -c(2? -20'je.(1)aBeaB.:j=0,D=0:V×B=0即(2))e。=0Ozap代入（1）式可得（2）式成立，：B。=czp，c为常数。6.两个半径为a的同轴线圈形线圈，位于z=土L面上，每个线圈上载有同方向的电流1。（1）求轴线上的磁感应强度（2）求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的L和a的关系。a2提示：用条件B. =0Oz2解：1）由毕一萨定律，L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为-5-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 5 - ∴空间 ϕ µ µ π µµ e r I B v v 0 0 + = I I M 0 0 µ µ µ µ + − = 沿 z 轴 5. 某空间区域内有轴对称磁场 在柱坐标原点附近已知 ) 2 1 ( 2 2 Bz ≈ B0 − C z − ρ 其中 B0为常量 试求该处的 Bρ 提示 用∇ ⋅ B = 0, r 并验证所得结果满足 H 0 r ∇ × 解 由 B v 具有轴对称性 设 z z B B e B e v v v = ρ ρ + 其中 ) 2 1 ( 2 2 Bz = B0 − c z − ρ ∇ ⋅ B = 0 v Q ( ) 0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ Bz z ρBρ ρ ρ 即 ( ) 2 0 1 − = ∂ ∂ B cz ρ ρ ρ ρ ∴ B = cz + A 2 ρ ρ ρ (常数) 取 A = 0 得 Bρ = czρ z B cz e B c z e v v v )] 2 1 [ ( 2 2 ∴ = ρ ρ + 0 − − ρ 1 j = 0, D = 0 v v Q ∴∇ × B = 0 v 即 ( ) = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ θ ρ ρ e B z B z v 2 代入 1 式可得 2 式成立 ∴ Bρ = czρ c 为常数 6. 两个半径为 a 的同轴线圈形线圈 位于 z = ±L 面上 每个线圈上载有同方向的电流 I 1 求轴线上的磁感应强度 2 求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的 L 和 a 的关系 提示 用条件 0 2 2 = ∂ ∂ Bz z 解 1 由毕 萨定律 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为

电动力学习题解答参考第三章静磁场Idixrla?μooB, = Br.e.,B,desinaα=4元r4n [a? +(2- L)"11Mola?[(L - 2) + α 同理，一L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为：11Mola?B2=B, = Bz.e.,[(L + 2]? +α?轴线上得磁感应强度..1B=B.e.SMola[(L-2)2 +α?[(L +z)? +α?12)V×B=0: V×(V×B)= V(V.B)- V?B= 0a2.. V?B=0,又V.B=0,B.=0代入（1）式中，得：D-[(L-2)* +a](L-2) -[(L-2) +a[(L-2) +a +6(L-2) [(L-2) +[(L - z)? +α"j°[(L + 2) +a(L+ ) +[L+2) +α (L + ) + -6(L-2)[(L+=)* +α][(L - z2) +a? j6=0取z=0，得：(? + a2)[-2(L? + α) L - 2(L? + a2)]+12(L + α2),L? = 0..5L?=L?+a?- 6 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 6 - , 1 1z z B B e v v = ∫ ∫ + − = × = θ π µ α π µ d a z L Ia r Idl r B z 2 3 2 2 2 0 3 0 1 [ ( ) ] 4 sin 4 v v 2 3 2 2 2 0 [( ) ] 1 2 1 L z a Ia − + = µ 同理 L 处线圈在轴线上 z 处产生得磁感应强度为 z z B B e v v 2 = 2 2 3 2 2 2 2 0 [( ) ] 1 2 1 L z a B z Ia + + = µ ∴ 轴线上得磁感应强度 z z z e L z a L z a B B e Ia v v v         + + + − + = = 2 3 2 2 2 3 2 2 2 0 [( ) ] 1 [( ) ] 1 2 1 µ 2 ∇ × B = 0 v Q ( ) ( ) 0 2 ∴∇ × ∇ × B = ∇ ∇ ⋅ B − ∇ B = v v v 又∇ ⋅ B = 0 v 0, 0 2 2 2 = ∂ ∂ ∴∇ = Bz z B v 代入 1 式中 得 2 2 6 2 5 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 [( ) ] [( ) ] ( ) [( ) ] [( ) ] 6( ) [( ) ] L z a L z a L z L z a L z a L z L z a − + − + + − − +       − − + − − − + − 2 2 6 2 5 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 [( ) ] [( ) ] ( ) [( ) ] [( ) ] 6( ) [( ) ] L z a L z a L z L z a L z a L z L z a − + + + − − + +       + + + + + + − − 0 取 z 0 得 ( ) [ 2( ) 2( ) ] 12( ) 0 2 2 5 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 + − + − + + + = − L a L a L L a L a L 2 2 2 ∴5L = L + a

第三章 静磁场电动力学习题解答参考1..L==a27.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A的微分方程，设导体的磁导率为μ。，导体外的磁导率为μ。解：定解问题为：V?A丙 =-μoJ,(ra)Agl0<00A外l。= Asla二V×A=-1V×A外(μo选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与z无关，令A± = A±(r)e:A外二A外(r)e：代入定解问题得：1aaA*(r)-μoJrararaA,(r)101=0(1OrLrar-+wr*+(,Inr+C.Ag(r) = -得：A外(r)=C,lnr+C4由 A(r)|r=0<00 得C,= 0V×A=VxA外得C,=-Ja?由一2Ho-7-

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 7 - L a 2 1 ∴ = 7. 半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面上 试解矢势 A r 的微分方 程 设导体的磁导率为 µ 0 导体外的磁导率为 µ 解 定解问题为              ∇ × = ∇ × = ∇ = − < 内 外 外 内 内 外 内 A A A A A A r a A J r a a a v v v v v v v v µ µ µ 1 1 0,( ) ,( ) 0 0 2 0 2 选取柱坐标系 该问题具有轴对称性 且解与 z 无关 令 z A A r e v v 内 = 内( ) z A A r e v v 外 外 ( ) 代入定解问题得        = ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ) 0 ) ( 1 ) ( ) ( 1 0 r A r r r r J r A r r r r 外 内 µ 得 3 4 1 2 2 ( ) ln ln 4 1 ( ) A r C r C A r Jr C r C = + = − + + 外 内 µ 由 A内(r) r=0 < ∞ 得 0 C1 = 由 A内 A外 v v ∇ × = ∇ × µ µ 1 1 0 得 2 3 2 C Ja µ = −

电动力学习题解答参考第三章静磁场1uoJa",C =Ja ina由A外la=A丙la，令A外l。=A。=0得C,-21HJ(a?-2)A=4Ja?InaA2r8.假设存在磁单极子，其磁荷为Qm，它的磁场强度为=二4元l。。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。解：H=CmE-Qm 1ze4元。34元/。Om由VxA=B=μH=--é,得：4元2LOCAe11O(sinA.)4元maersineas1OA,a-(rA.)l=0(1)arr sine gaaA,(rAg)r1=0a0OrP1, IaOm sine令A,=A=0,得：(sinA)-ae4元reQ.sine-de.. sinGA.4元Om1-cos0..A. =4元rsin显然，A。满足（1）式Om1-cos?：磁单极子产生的矢势A=C4元rsine-8 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 8 - 由 A外 a A内 a v v = 令 = = 0 A外 a A内 a v v 得 C Ja C Ja ln a 2 , 4 1 2 4 2 2 0 µ = µ =        = − ∴ r a A Ja A J a r ln 2 ( ) 4 1 2 2 2 0 v v v v µ µ 外 内 8. 假设存在磁单极子 其磁荷为 Qm 它的磁场强度为 3 0 4 r Q r H m r r πµ = 给出它的矢势的 一个可能的表示式 并讨论它的奇异性 解 r m m e r Q r Q r H v v v 2 0 3 0 1 4πµ 4πµ = = 由 r m e r Q A B H v v v v 0 2 4π ∇ × = = µ = 得          = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ [ ( ) ] 0 1 ( )] 0 sin 1 [ 1 4 [ (sin ) ] sin 1 2 θ θ φ φ π θ θ θ θ φ θ φ r r m A rA r r rA r A r r A Q A r (1) 令 = = 0, Ar Aθ 得 r Q A m π θ θ θ φ 4 sin (sin ) = ∂ ∂ θ θ π θ π θ θ φ θ φ sin 1 cos 4 4 sin sin 0 r Q A d r Q A m m − ∴ = ∴ = ∫ 显然 Aφ 满足 1 式 ∴ 磁单极子产生的矢势 φ θ θ π e r Q A m v v sin 1 cos 4 − =

电动力学习题解答参考第三章静磁场讨论：当0→0时，A→0当0→时，→me24元当θ→元时，A→8，故A的表达式在θ=元具有奇异性，A不合理9.将一磁导率为μ，半径为R。的球体，放入均匀磁场H。内，求总磁感应强度B和诱导磁矩m。解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H。的方向为é.，此球体在外界存在的磁场的影响下极化，产生一个极化场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡。保持在一个静止的状态，呈现球对称。本题所满足的定解问题为：[20m=0,RROmLapm,(R= Ro)m=muμoaRaRPm|R=0<00Pm|R=-H.Rcoso由泛定方程和两个自然边界条件得：Pm,=Za,R"P,(cos0)n=0Pm =-H,Recoso +2 P,(coso)n=0Rn+I由两个边界条件有：[2a.r P(cos0)-H,r.coo+P.(cos)N=0 RR+120(n+1)d,P,(cosO)μEa,nR"-P,(cos)=-HoHocos-μoRa+2n=得：- 9 -

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 9 - 讨论 当θ → 0 时 A → 0 v 当 2 π θ → 时 φ π e r Q A m v v 4 → 当θ → π 时 A → ∞ v 故 A v 的表达式在θ = π 具有奇异性 A v 不合理 9. 将一磁导率为 µ 半径为 R0 的球体 放入均匀磁场 H0 r 内 求总磁感应强度 B r 和诱导 磁矩 m r 解 根据题意 以球心为原点建立球坐标 取 H0 v 的方向为 z e v 此球体在外界存在的磁场 的影响下极化 产生一个极化场 并与外加均匀场相互作用 最后达到平衡 保持在一个 静止的状态 呈现球对称 本题所满足的定解问题为            = − ∇ = < =∞ = ϕ θ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ cos , ,( ) 0, 0, 0 0 0 0 0 2 0 2 2 1 1 2 1 2 2 1 H R R R R R R R R R m R m R m m m m m m 由泛定方程和两个自然边界条件得 ∑ ∞ = = 0 (cos ) 1 n n n ϕ m anR P θ ∑ ∞ = + = − + 0 0 1 cos (cos ) 2 n n n n m P R d ϕ H R θ θ 由两个边界条件有        + = − − = − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = − ∞ = + ∞ = 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 (cos ) ( 1) (cos ) cos (cos ) cos (cos ) n n n n n n n n n n n n n n n n P R n d a nR P H P R d a R P H R µ θ µ θ µ θ θ θ θ 得

电动力学习题解答参考第三章静磁场3uoHa.=μ+2μod =H-o H.R;μ+2μoan=d,=0,(n±1)3uoH,Rcoso,RRpmμ+2μo R?3oH, cose, -3μoH。sin。3uo_HH-VPmμ+2μoμ+2μμ+2μ3upo_HB, = μH,μ+ 2 μoM-oR=-Vgm=[1+M-Mo,2R]Hcosbe,[1-—HJHsineμ+2μoR3μ+2μoR3= Ho + 20 R[(R0 R)R )3R3R5μ+2μog -eB, = HoH, =μH +-HoHoR3R5μ+2μo3μoHo,(RR)R?R3u+2μo当B在R>R。时，表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场0m中-o.RH。cos可看作偶极子m产生的势μ+2μoR21mRS H. coso= 2ROH.Rμ-μo即：4元R3R2μ+2μoR?μ+2μoH-MO.RH.m=4元一μ+2μo10.有一个内外半径为R,和R,的空心球，位于均匀外磁场H。内，球的磁导率为μ，求空-10

电动力学习题解答参考 第三章 静磁场 - 10 -          = = ≠ + − = + = − 0,( 1) 2 2 3 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 a d n d H R H a n n µ µ µ µ µ µ µ        ⋅ > + − = − + ⋅ + − + R0时 表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场 θ µ µ µ µ ϕ cos 2 2 0 3 0 0 0 2 H R R m ⋅ + − ∴ 中 可看作偶极子 m v 产生的势 即 H R R R H R R R m R v v v v ⋅ ⋅ + − ⋅ = + − = ⋅ ⋅ 2 0 3 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 2 cos 4 2 1 µ µ µ µ θ µ µ µ µ π m R H v v 3 0 0 0 2 4 ⋅ + − ∴ = µ µ µ µ π 10. 有一个内外半径为 R1 和 R2 的空心球 位于均匀外磁场 H0 r 内 球的磁导率为 µ 求空