《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 电磁现象的普遍规律 1.5 电磁场边值关系 Boundary Conditions of Electromagnetic Field

s1.5电磁场边值关系BoundaryConditionsofElectromagneticField·知识要点两介质分界面上由于分布电荷电流，场量会发生跃变；一界面处场量突变，界面上的自由电荷使电场法的原因向分量跃变；界面上的自由电流使磁场切一法向分量的跃变向分量跃变；一切向分量的跃变，界面上的电荷电流分布式宏观的，微分形式的麦克斯韦一例题方程组不再适用，应该用积分形式的麦氏方程

§1.5 电磁场边值关系 Boundary Conditions of Electromagnetic Field • 知识要点 –界面处场量突变 的原因 –法向分量的跃变 –切向分量的跃变 –例题 • 两介质分界面上由于分布电 荷电流，场量会发生跃变； • 界面上的自由电荷使电场法 向分量跃变； • 界面上的自由电流使磁场切 向分量跃变； • 界面上的电荷电流分布式宏 观的，微分形式的麦克斯韦 方程组不再适用，应该用积 分形式的麦氏方程

S1.5电磁场边值关系BoundaryConditionsofElectromagneticField1.介质界面上束缚电荷电流产生附加场两介质交界面可理解为介质的不均匀，外场极化和磁化介质的程度不同，致使束缚电荷、电流出现；束缚电荷、电流激发附加电场、磁场，叠加在原电磁场，导致界面处场量发生跃变

§1.5 电磁场边值关系 Boundary Conditions of Electromagnetic Field 1. 介质界面上束缚电荷电流产生附加场 ➢ 两介质交界面可理解为介质的不均匀，外场极化和 磁化介质的程度不同，致使束缚电荷、电流出现； ➢ 束缚电荷、电流激发附加电场、磁场，叠加在原电 磁场，导致界面处场量发生跃变

>Maxwell’sequations对场量而言，是连续、可微的，微分形式的麦氏方程组不能应用到两介质的界面上：>积分形式的Maxwell'sequations对任意不连续的场量适合，研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程。V.D=P$D.dS = Qf8Gauss公式s+B.dS = 0V.B=0SaBdVxD=_(B.ds E.dlatJLdt JsStokes公式aDd H.di =VxH=.jD.ds+atJLdt

➢ Maxwell’s equations对场量而言，是连续、可微的，微 分形式的麦氏方程组不能应用到两介质的界面上； ➢积分形式的Maxwell’s equations对任意不连续的场量适 合，研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程。                = +     = +   = −     = −  =   =  =   =       L S f L S S f S D dS dt d H dl I t D H J B dS dt d E dl t B D B B dS D D dS Q                    0 0   Gauss公式 Stokes公式

2.法向分量的跃变(discontinuityofnormalcomponent)1）模型：上下底分别“深”入两介质的柱体。宏观上柱体高趋于零，微观上包含横截界面层内的全部电荷2）电场法向分量ds,n2tDD.ds=Q,用于柱体将麦氏方程nsds介质2O, = OydS = fD.ds介质1S= D.ds+ $D.ds+ $D.dsdsn上底下底侧面D= D, ·ds, + D ·dsh很小，侧= (D, - D) dSn面积分为0

(D D ) dSn D dS D dS D dS D dS D dS Q dS D dS S f f                = −  =  +  =  +  +  = =      2 1 2 2 1 1 上底 下底 侧面  h很小，侧 面积分为0 2. 法向分量的跃变( discontinuity of normal component) 1）模型：上下底分别“深”入两介质的柱体。宏观上 柱体高趋于零，微观上包含横截界面层内的全部电荷。 2）电场法向分量 将麦氏方程 f 用于柱体 S  DdS = Q   n 2  ds h D1  介质1 介质2 D2  n2  n1  ds1 ds

(D, - D).n=, = D2n - D,而代入上式得D=E+P%(E, -E)=Op +O, =(E2n -EinP,-P=Op法向的正向是由介质1指向介质2的方向。可见：a)界面上自由电荷的存在，致使D发生了跃变；b)界面上自由、束缚电荷的存在，致使E发生了跃变；对各项同性的线性介质D=E，有c)(c,E2-,E),=O, =8,E2n-8Em既使界面上自由电荷为零，的法向分量也不连续

而 P P P D E P   − = = + 2 1 0      代入上式得 ( ) ( ) 0 E2 − E1 = P + f = 0 E2n − E1n       ( ) D2 D1 n = f = D2n − D1n −      法向n的正向是由介质1指向介质2 的方向。 可见： a) 界面上自由电荷的存在，致使D发生了跃变； b) 界面上自由、束缚电荷的存在，致使E发生了跃变； c) 对各项同性的线性介质 D E ，有   =  ( ) 2 E2 1 E1 n f 2 E2n 1 E1n  −  = =  −    既使界面上自由电荷为零，E的法向分量也不连续

3）磁场法向分量：B·dS=0用于柱体，有>将麦氏方程s(B, -B),n= 0 =→ B2n = BinB的法向分量连续。如果B，≠B，B的切向肯定不连续。可见：B法向分量连续。如果B，≠B,，B的切向必不连续；a)b)各项同性的线性介质B=H，有H2n =μ(-)=0Hin2

3）磁场法向分量： ➢将麦氏方程   = 0 用于柱体，有 S B dS   ( ) B2 B1 n = 0  B2n = B1n −     B的法向分量连续。如果 B2 B1 ，B的切向肯定不连续。    可见： a) B法向分量连续。如果 ，B的切向必不连续； b) 各项同性的线性介质 B H ，有   =  B2 B1    ( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 0    −   =  = n n H H H H n   

3.切向分量的跃变(discontinuityof tangentialomponent1）线电流密度（或面电流密度）电流分布在界面层时，常有两种描述：精确描述：既要考虑电流沿薄层厚度的变化，也要a考虑面上不同位置的电流分布，用电流密度；b）粗略描述：只关注电流在表面不同位置的分布，并不考虑薄层厚度的分布，用线电流密度。引入：电流分布的薄层厚度在宏观上可认为趋于零时，通过电流的横截面变为横截线。线电流密度：垂直通过单位长度横截线的面电流强度，或单位时间内垂直通过单位横截线的电荷量

3. 切向分量的跃变( discontinuity of tangential omponent) 1）线电流密度（或面电流密度） 电流分布在界面层时，常有两种描述： a) 精确描述：既要考虑电流沿薄层厚度的变化，也要 考虑面上不同位置的电流分布，用电流密度； b) 粗略描述：只关注电流在表面不同位置的分布，并 不考虑薄层厚度的分布，用线电流密度。 ➢ 引入：电流分布的薄层厚度在宏观上可认为趋于零 时，通过电流的横截面变为横截线。 ➢ 线电流密度：垂直通过单位长度横截线的面电流强 度，或单位时间内垂直通过单位横截线的电荷量

线电流密度的大小：设界面上流过横截线dl的电流强度为dI，则线电流密度的大小为dlα =dl线电流密度的方向：：对应点的电流的方向。如图，电流横截面上dl, n取边界为dL的面元dS.a1h通过的电流为dl = J.ds介质2= j.(hxdi)T= J.(hnxdl)d介质1=α.(nxdi)

dl dI  = ➢ 线电流密度的大小：设界面上流过横截线dl的电流强度 为dI，则线电流密度的大小为 ➢ 线电流密度的方向：对应点的电流的方向。 介质1 介质2    f n   2 dl  h  dL 如图，电流横截面上 取边界为dL的面元dS， 通过的电流为 ( ) ( ) (n dl ) J hn dl J h dl dI J dS            =   =   =   =  

说明：线电流密度在电流分布层厚度h趋于零时才有意义。2）模型：在界面两旁取一狭长形回路，两长边A1分别在介质1、介质2中并足够深（宏观上还是很小），使面电流全部通过回路内部。n△l,3）电场切向分量：a>将麦氏方程介质2dLB.ds E.diE,JLJsdtFT用到狭长形回路介质1hAi

2）模型：在界面两旁取一狭长形回路，两长边Δl分别 在介质1、介质2中并足够深（宏观上还是很小），使 面电流全部通过回路内部。 介质1 介质2    f n   2 l   2 h  L E2  E1  说明：线电流密度在电流分布层厚度h趋于零时才有意义。    = −  L S B dS dt d E dl     3）电场切向分量： ➢将麦氏方程 用到狭长形回路 1 l   1 h 

aBd18-0B.dsds =0方程右边有限量，S(h）超JSJSatdt于零，积分超于零。方程左边E.dl=TE.di+TE.di+TE.di+TE.dlJAJ12JhJh= E, ·A + E2 ·△h超于零积分超于零。= (E, - E,) △7,方程左边等于零，△I,任意取，只有(E, - E).△, =0 → E2 = Ei,或者写为nx(E, -E)=0E切向分量连续

( ) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 E E l E l E l E dl E dl E dl E dl E dl L l l h h                  = −  =  +   =  +  +  +        = 0   −  = − S S dS t B B dS dt d     方程右边 有限量，S(h)趋 于零，积分趋于零。 t B    方程左边 h 趋于零， 积分趋于零。 ( ) 2 1 2 0 E2 E1 E − E l =  =    或者写为 n(E2 − E1 )= 0    方程左边等于零， l 2 任意取，只有   E切向分量连续