《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 静电场 Electrostatic field 2.1 静电场的标势及其微分方程 Scalar potential and differential equation for electrostatic field

第二章静电场Electrostatic field

第二章 静电场 Electrostatic field

研究对象：静电场一一静止电荷激发的场特点：①电荷静止；2)电场不随时间变化主要问题：给定自由电荷、周围空间介质和导体分布的情况下，如何求解静电场内容:描述量：静电场常用静电势函数描述求解依据：唯一性定理①分离变量法；②镜求解静电场的方法：像法；③格林函数法；④电的多极矩展开法

➢ 研究对象：静电场——静止电荷激发的场. ➢ 特点：①电荷静止；②电场不随时间变化. ➢ 主要问题：给定自由电荷、周围空间介质和导 体分布的情况下，如何求解静电场. ➢ 内容： ✓ 描述量：静电场常用静电势函数描述. ✓ 求解依据：唯一性定理. ✓ 求解静电场的方法：①分离变量法；②镜 像法；③格林函数法；④电的多极矩展开法

本章主要内容静电场的标势及其微分方程唯一性定理拉普拉斯方程，分离变量法镜象法格林数法电多极矩

本 章 主 要 内 容 • 静电场的标势及其微分方程 • 唯一性定理 • 拉普拉斯方程，分离变量法 • 镜象法 • 格林函数法 • 电多极矩

S2.1静电场的标势及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialeguationforelectrostaticfield·知识要点静电场是有源无旋场；由于无旋，可用势函数来描述；一静电场的标势·静电势描述静电场的特点：一静电势的微分方>①电场强度满足的矢量方程组变为标量方程；程和边值关系>②电场强度满足的微分方程一静电场的能量由一阶增为二阶；>③静电场的能量由场空间（无限区域)积分变为电荷分布空间(有限区域)积分

• 知识要点 –静电场的标势 –静电势的微分方 程和边值关系 –静电场的能量 • 静电场是有源无旋场；由于 无旋，可用势函数来描述； • 静电势描述静电场的特点： ➢ ①电场强度满足的矢量方程 组变为标量方程； ➢ ②电场强度满足的微分方程 由一阶增为二阶； ➢ ③静电场的能量由场空间(无 限区域)积分变为电荷分布空 间(有限区域)积分。 §2.1 静电场的标势及其微分方程 Scalar potential and differential equation for electrostatic field

S2.1静电场的标势及其微分方程Scalarpotentialanddifferentialeguationforelectrostaticfield1.静电场的标势静电势的引入：在静止情况下，电场和磁场无关，麦克斯韦方程组的电场部分为V×E=0, V.D=p这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。>由于E无旋，可引入一个标势来描述静电场。数学上：×E=0=×(-)a)E=-Vβ

1. 静电场的标势 ① 静电势的引入：在静止情况下，电场和磁场无关，麦 克斯韦方程组的电场部分为 §2.1 静电场的标势及其微分方程 Scalar potential and differential equation for electrostatic field E =  D =    0, 这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。 ➢由于E无旋，可引入一个标势来描述静电场。 a）数学上： E = 0 = (−)  E = − 

>电磁学中，将静电方程V×E=0在场空间任一面上积分，得J,(V×E).dS = 0斯托克斯公式 Edi = 0JI>设C,和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。Ci和Cz构成闭合回路，因此[E.di +E.di-[E.di-E.di=0JCCC即单位正电荷由P1点移至P2点时(E.di =「E.dl电场对它所作的功与路径无关JCIJC2只和两端点的位置相关

➢设C1和C2为由P1点到P2点的两条不同路径。C1和C2构成 闭合回路，因此 ➢电磁学中，将静电方程 = 0 L Edl    E = 0  在场空间任一面上积分，得 ( ) = 0 S E dS   斯托克斯公式 0 1 2 1 2  +  =  −  = C −C C C E dl E dl E dl E dl         即    =  C1 C2 E dl E dl     单位正电荷由P1点移至P2点时 电场对它所作的功与路径无关， 只和两端点的位置相关

即[E.dl =CPE.dlUP上式表示的是：场空间P和P2两点某种状态（函数）的差值。该状态函数具有表征场特征的物理意义，把该状态函数定义为电势。>考虑到电场力作正功，电势能降低，则p(P)-p(P)=-[P E.dlP当P和P相距dl时，有dp=-E.dlagagag由于dz= V0.dldx +dy +doaxOzay电场强度等于电所以E=-Vβ势中的负梯度

E = −  即 • 上式表示的是：场空间P1和P2两点某种状态（函数）的 差值。该状态函数具有表征场特征的物理意义，把该 状态函数定义为电势φ。    =  2 1 1 P C P E dl E dl     ➢考虑到电场力作正功，电势能降低，则 ( ) ( )  − = −  2 1 2 1 P P P P E dl     当P1和P2相距dl时，有 d E dl    = −  由于 dz dl z dy y dx x d  =     +   +   =      所以 电场强度等于电 势φ的负梯度

说明：势函数只有其差值才有物理意义；b)“单值”地确定。实际中为便于计算，需要空间电势所有常需要选取电势的参考零点；零电势点的选取是任意的；N电荷分布于有限区域时，常选无穷远为零势点。d)此时，有p(P)= (~E.dl静电场和电势的关系：p(P)-β(P)= -{’ E.di已知其一便得其二。E=-Vβ

说明： a) 势函数只有其差值才有物理意义； b) 实际中为便于计算，需要空间电势“单值”地确定。 所有常需要选取电势的参考零点； c) 零电势点的选取是任意的； d) 电荷分布于有限区域时，常选无穷远为零势点。 此时，有 ( )   =  P P E dl    ② 静电场和电势的关系： ( ) ( )    = − − = −   E P P E dl P P    2 1 2 1 已知其一， 便得其二

给定电荷分布所激发的电势3点电荷Q激发的电势a)p(P)= rA.didr'4元4元80rb）有限区域的点电荷系激发的电势：场的叠加性得Op(P)=Z4元r连续分布于有限区域V的电荷系统激发的电势dv其中r是源的x到场点x的距离

其中r是源的x ΄到场点x的距离。 ③ 给定电荷分布所激发的电势 a) 点电荷Q激发的电势 ( ) r Q dr r Q r dl r Q P r r 0 2 0 3 4  0 4  4        =   =  =   b) 有限区域的点电荷系激发的电势：场的叠加性得 ( ) =  i i i r Q P 4  0  c) 连续分布于有限区域V的电荷系统激发的电势 ( )    = V dV r x x 4 0 ( )      

说明：上式只是给出电荷激发电场的方面，而没有考虑电场2对电荷作用的方面；b)空间所有电荷给定，电场强度和电势是完全确定的：实际中并不是所有电荷都能够预先给定；（如感应电荷分.布，往往需要从电场和电荷相互作用的规律求出来实际中电场和电荷是相互制约的，要同时解出电场和d感应电荷密度，就要知道电荷和电场相互作用的微分关系；导体表面或其它边界上，场和电荷的相互关系由边值关系或边界条件反映出来

说明： a) 上式只是给出电荷激发电场的方面，而没有考虑电场 对电荷作用的方面； b) 空间所有电荷给定，电场强度和电势是完全确定的； c) 实际中并不是所有电荷都能够预先给定；（如感应电荷分 布，往往需要从电场和电荷相互作用的规律求出来） d) 实际中电场和电荷是相互制约的，要同时解出电场和 感应电荷密度，就要知道电荷和电场相互作用的微分 关系； e) 导体表面或其它边界上，场和电荷的相互关系由边值 关系或边界条件反映出来