《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 静电场 Electrostatic field 2.4 镜像法 Method of Images

S2.4镜像法Methodof Images一般的静电场问题是求解满·知识要点足边界条件和边值关系的Poisson's equation ;一镜像法能求解的所考虑的区域内没有自由电问题特征荷分布时，满足Laplace“sequation方程，用分离变量一依据唯一性定理法求解场分布；一例题所考虑区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，用镜象法求解场分布

§2.4 镜像法 Method of Images • 知识要点 –镜像法能求解的 问题特征 –依据唯一性定理 –例题 • 一般的静电场问题是求解满 足边界条件和边值关系的 Poisson's equation ； • 所考虑的区域内没有自由电 荷分布时，满足Laplace‘s equation方程，用分离变量 法求解场分布 ； • 所考虑区域内只有一个或者 几个点电荷，区域边界是导 体或介质界面，用镜象法求 解场分布

S2.4镜像法MethodofImages1.镜像法求解的问题特征区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体（或介质界面）；导体外否电场，是由Q和感应电荷（或极化电荷）共同激发。感应电荷（或极化电荷）分布未知！2.镜像法的等效思想》感应电荷（或极化电荷）对场的影响能否用导体（或介质）内部某个或某几个假想的电荷等效地来代替呢？答案是肯定的！唯一性定理是其理论基础

§2.4 镜像法 Method of Images 1. 镜像法求解的问题特征 ➢ 区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体（ 或介质界面）； ➢ 导体外否电场，是由Q和感应电荷（或极化电荷）共 同激发。感应电荷（或极化电荷）分布未知！ 2. 镜像法的等效思想 ➢ 感应电荷（或极化电荷）对场的影响能否用导体（ 或介质）内部某个或某几个假想的电荷等效地来代 替呢？答案是肯定的！唯一性定理是其理论基础

说明：自由电荷称为原电荷，等效的假想电荷称为像电荷；1)像电荷只有等效（产生的电场）作用，并不实际存在，实际存在的是分布未知的感应电荷或极化电荷：3空间中的电场就是原电荷和像电荷产生的电场叠加；4只要在所讨论的区域内，电场一样就可以了，并不考虑区域外的场的不一致。即放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数电场；5象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或极化电荷相等；问题归结为：根据边界条件来确定像电荷的位置和带电量；?7能够求解要求：导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）；场区域是点电荷，无限长带电直线

说明： ① 自由电荷称为原电荷，等效的假想电荷称为像电荷； ② 像电荷只有等效（产生的电场）作用，并不实际存在，实际存 在的是分布未知的感应电荷或极化电荷； ③ 空间中的电场就是原电荷和像电荷产生的电场叠加； ④ 只要在所讨论的区域内，电场一样就可以了，并不考虑区域外 的场的不一致。即放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或 介质界面不存在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其 介电常数应是所研究场域的介电常数电场； ⑤ 象电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与真实 的感应电荷或极化电荷相等； ⑥ 问题归结为：根据边界条件来确定像电荷的位置和带电量； ⑦ 能够求解要求：导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面 （球面、柱面、平面）；场区域是点电荷，无限长带电直线

3.镜像法的运用写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；由给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置：由已知电荷及象电荷写出势的解析形式；电荷分布、根据需要要求出场强、电场作用力以及其它量如电容等。Z4.应用举例【例1】接地无限大平面导体板a附近有一点电荷，其电量为XQ，距板a处，求空间中的势0分布

3. 镜像法的运用 ➢ 写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； ➢ 由给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； ➢ 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； ➢ 根据需要要求出场强、电荷分布、电场作用力以及 其它量如电容等。 4. 应用举例 【例1】接地无限大平面导体板 附近有一点电荷，其电量为 Q，距板a处，求空间中的势 分布。 O x z Q a

解：根据静电屏蔽可判定接地导体板下半空间没有电场。上半空间的电场是Q及导体板上的感应电荷共同产生的。。点电荷Q和导体板达到静电平衡后，导体板是等势体，导体板面上等势面；边界条件为1)相对电荷Q无穷远处电势为零：②导体面上电势为零（无穷大，等势）。则导体板的上半区域，电势满足的定解方程为：-= Q8(x, y, z - a)(1)70-6(2)= 0LR→(3)1Z=0。求解空间是导体板的上半区域（z>0），如不改变求解区域的电荷分布，像电荷应该在导体板上或下方；

解：根据静电屏蔽可判定接地导体板下半空间没有电场。 上半空间的电场是Q及导体板上的感应电荷共同产生的。 • 点电荷Q和导体板达到静电平衡后，导体板是等势体， 导体板面上等势面；边界条件为①相对电荷Q无穷远处 电势为零；②导体面上电势为零（无穷大，等势）。          = =  = − − = → 0 (3) 0 (2) ( , , ) (1) 1 0 0 2 z R Q x y z a      • 则导体板的上半区域，电势满足的定解方程为： • 求解空间是导体板的上半区域（z>0），如不改变求解 区域的电荷分布，像电荷应该在导体板上或下方；

求解的空间是导体板的上半区域，故像电荷应该在导体板上或下方，这样不会改变求解区域的电荷分布；感应电荷在导体板上分布关于乙轴对称但未知。像点电荷Q一定在z轴的负半轴上。坐标(0,0,a)，如图所示：P(x, y,z)7Q(o,0,a)RY0XCQ'(0,0,a') :

• 求解的空间是导体板的上半区域，故像电荷应该在导体 板上或下方，这样不会改变求解区域的电荷分布； • 感应电荷在导体板上分布关于z轴对称但未知。像点电 荷Q´一定 在z轴的负半轴上。坐标(0,0,a’), 如图所示： O x z Q(0,0,a) Q (0,0,a) P(x,y ,z) r r  R 

导体板上半区域的电场就是原电荷与像电荷产生的场强之和。以Q在板面上的射影点为原点建立坐标系，上半空间某点P的电势为16p(P)4元6?O4元%+y+z-a江+XY由于[+y*+(z-a)]=[2+°+-2az+a]R? + a2 - 2aR cos 0电势也可写为：QQ'4元YR? + a2 + 2Ra cos 0VR2 + a'2 + 2Ra' cos 0

        + + −   + + + − =           = + 2 2 2 2 2 2 0 0 4 ( ) ( ) 1 4 1 ( ) x y z a Q x y z a Q r Q r Q P      • 导体板上半区域的电场就是原电荷与像电荷产生的场强 之和。以Q在板面上的射影点为原点建立坐标系，上半 空间某点P的电势为 电势也可写为：      2 cos  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R a aR x y z a x y z az a = + − + + − = + + − + 由于         +  +   + + + =      4 2 cos 2 cos 1 ( ) 2 2 2 2 0 R a Ra Q R a Ra Q P

。无穷远处电势为零的边界条件（2）式自然满足。·由导体板面(z=0)上电势为零的边界条件（3）式，有Q'Q=04元80(x2 + y2 + (-a)2Vx? + y? +(-a')?即有Q'=Q, a'=-a则Q-Q1p(P)4元0(x2+ y2+ (z -a)2x2 + y2+(z +a)2说明：有原电荷和像电荷形成的场，在导体板下半空间的电势并不等于实际情况（等势区域），这一点我们不用考虑，因为下半空间不属于问题求解的区域范围

• 说明：有原电荷和像电荷形成的场，在导体板下半空 间的电势并不等于实际情况（等势区域），这一点我们 不用考虑，因为下半空间不属于问题求解的区域范围。 • 无穷远处电势为零的边界条件（2）式自然满足。 • 由导体板面(z=0)上电势为零的边界条件（3）式，有 0 4 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 0 =         + + −   + + + − x y a Q x y a Q   即有 Q = Q, a = −a 则         + + + − + + + − = 2 2 2 2 2 2 4 0 ( ) ( ) 1 ( ) x y z a Q x y z a Q P   

讨论:如果导体板不接地，左半空间有电场存在。这时左、右两半空间的电势必须满足以下条件：V2P右 =--Q8(x-a, y- 0,≥- 0)(1)60(2)=0右|R→0(3)。=有限的定值β右|x=0?左=0(4)=0(5)P左|R→(6)=有限的定值Φ左|x=0

讨论: ▲如果导体板不接地，左半空间有电场存在。这时左、右两 半空间的电势必须满足以下条件：        = =  = = → (6) 0 (5) 0 (4) 0 2 左 有限的定值 左 左 x R             = =  = − − − − = → (3) 0 (2) ( , 0, 0) (1) 1 0 0 2 右 有限的定值 右 右 x R Q x a y z     

现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况：根据导体平衡条件，导体面上有aeO感E,=0oanx=0所以a-60福感Onlx=0其中aadanaxX=0x=0

▲现在求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况： 根据导体平衡条件，导体面上有 所以 其中 0 0    感 =   = − x= n n E 0 0 =   = − n x   感  =0 =0   =   x x n x  