《电动力学》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 静电场 Electrostatic field 2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem

S 2.2 唯一性定理Uniqueness Theorem·知识要点一介质中静电问题静电问题定解需要什么条件（解唯一）？的唯一性定理解决实际问题的依据：一有导体存在时的无论何种方法，获得的满足条件的解必是该问唯一性定理题唯一的正确的解；

• 知识要点 –介质中静电问题 的唯一性定理 –有导体存在时的 唯一性定理 • 静电问题定解需要什么 条件（解唯一）？ • 解决实际问题的依据： 无论何种方法，获得的 满足条件的解必是该问 题唯一的正确的解； §2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem

1.静电问题的唯一性定理表述：设区域V内有给定的电荷分布p(x)。V可以被分1为若干个均匀、各向同性的区域V，每个小区域内介电常数为。电势在均匀区域V内满足泊松方程：=-P有几个区域，就有几个方程相关。8在两区域V和V的分界面上满足边值关系：apand=88;P, =PjVonan在V的边界S上给定ap并且的关系orDOnls盛的关系则V的电场唯一确定

1. 静电问题的唯一性定理 ① 表述：设区域V内有给定的电荷分布ρ(x)。V可以被分 为若干个均匀、各向同性的区域Vi，每个小区域内介电 常数为εi。电势在均匀区域Vi内满足泊松方程： i     = − 2 在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系： j j i i j i n n and          =        =       在V的边界S上给定 S S n or    则V的电场唯一确定。 有几个区域，就 有几个方程相关。 并且的关系 或的关系

证明：反正法设有两组不同的解β和β”满足唯一性定理的条件。令=p'-"V?g'=-P>则每个均匀区域V内8-Vo"=-P81>在两均匀区域界面上有ap'ap'88aeP=ΦananapiCPa"ananap'"=08i8onan1

➢则每个均匀区域Vi内 ② 证明：反正法 ➢ 设有两组不同的解  和  满足唯一性定理的条件。令  = − 0 2 2   =          = −   = −        i i ➢在两均匀区域界面上有 n n n n n n j j i i j j j i i j j i i i j i j i j   =              =       =     =     =   =                   

>在整个区域V的边界S上有="===s"=0或apapap"=0解在边界上相同OnlsanOnCS为什么是这个积>考虑第i个区域V的界面S上的积分分而不是其它？.spp.ds两种边界和的法向导数的乘积[..(,pp)dv(,(V)dV + (,VpdvV2 @=0

➢在整个区域V的边界S上有  =  = 0  =  −  = 0 S S S S S       或 = 0    −    =   n S n S n S    解在边界上相同 ➢考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分    S i dS     为什么是这个积 分而不是其它？ ( ) ( )    =  +  =   i i i V i V i V i dV dV dV        2 2 两种边界φ和φ的 法向导数的乘积 ▽2 φ=0

.p.ds=(,(vp)dv即对所有分区V,求和得Ef, ,op ds -E,e,(vo) dv该式左边为零。因为两均匀区域V和V的分界面上和V的法向分量分别相等，但dS;二--dS。故左边求和，内部分界面的积分互相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分。S上或√的法向分量等于零。P和只差一常量都描述同一电场。Ef,(Vp) dV= 0因此有上式成立，只有在V内各点√=0，即=常量

即 ( )     =  i Vi i S i dS dV 2       对所有分区Vi求和得  ( )     =  i V i i S i i i dS dV 2       ➢ 该式左边为零。因为 ✓ 两均匀区域Vi和Vj的分界面上φ 和ε▽φ的法向分量分别 相等，但dSi=- dSj。故左边求和，内部分界面的积分互 相抵消，只剩下整个V的边界S上的积分。 ✓ S上φ 或▽φ的法向分量等于零。 因此有 ( ) 0 2   =  i V i i   dV 上式成立，只有在V内各点▽φ=0，即φ =常量。 φ ΄和φ ΄΄只差一常量， 都描述同一电场

2.有导体存在时的唯一性定理1两类问题：有导体存在时，确定电场需要条件：要么每个导体上的电势；要么每个导体上的总电荷。第一类型：为简单，考虑区域内2S只含一种均匀介质情形。除去导体SVI内部后的区域V'。V边界包含S和每个导体表面S。S2已知的导体电势即成了讨论区域V'的部分边界条件，该问题就完全与前面证明过的一致

2. 有导体存在时的唯一性定理 ① 两类问题：有导体存在时，确定电场需要条件：要么 每个导体上的电势；要么每个导体上的总电荷。 2 S S1 V S ➢ 已知的导体电势即成了讨论区域 V΄的部分边界条件，该问题就完 全与前面证明过的一致。 ② 第一类型：为简单，考虑区域内 只含一种均匀介质情形。除去导体 内部后的区域V΄ 。V΄边界包含S΄和 每个导体表面Si

第二类型：3表述：给定导体外电荷分布P，导体以外满足泊松2V=-方程：8同时给定各导体上的总电荷Q，在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件：Ods=Qils. = P,=常量andJs, On以及在V的边界S上具有给定的：apor?Onls则V内电场完全确定

= = = 常量   −  S i i S i i and Q dS n     以及在V的边界S上具有给定的： S S n or    则V内电场完全确定 ➢ 同时给定各导体上的总电荷Qi，在第i个导体上满足 总电荷条件和等势面条件：     = − 2 ③ 第二类型： a) 表述：给定导体外电荷分布ρ，导体以外满足泊松 方程：

b)证明：：反正法设有两组不同的解β和β”满足上述条件，令β=p'-">则?满足Vp=0 (V内)dS = O, and pls, =常量Js; Onap=0orons>对区域V'用高斯公式fpVp.dS =(v (pVp)dv

➢则φ满足 b) 证明：反正法 ➢ 设有两组不同的解  和  满足上述条件，令  = − ( )          =   = = =   −  =   0, 0 0, 0 2 S S S S n or dS and n V i i      常量 内 ➢对区域V΄用高斯公式 S ( ) V S V  d =   d     

.Vp.ds = ( (Vo)dV+ ?pd>左边积分区域为S'=S+Si.pvp.ds =f.p.ds+fpVp.dsS上的法线指向导体内doS上或的法ds=0-部，aplon是导体表面向导数为零，iJs.an法向导数。S，上是常积分为零量。此积分为零。=0>即有右边为零，即而p=0，积分为零。J.(V0) dV + . pd=0>必有=0，即=常量。和只差一常量

( )         =  +  S V V   dS  dV dV 2 2  ➢左边积分区域为S΄=S+Si， 0 0 =   = −   =   +        i i S i S S S dS n dS dS dS            S上φ或φ 的法 向导数为零， 积分为零 Si上的法线指向导体内 部， 是导体表面 法向导数。Si上φ是常 量。此积分为零。  n ➢即有右边为零，即 ( ) 0 2 2  +  = V V  dV dV 而  2  = 0 ，积分为零。 ➢必有▽φ=0，即φ =常量。φ ΄和φ ΄΄只差一常量

说明：>唯一性定律是求解静电问题指导。不论用什么方法（包括试探）得到满足条件的解，一定是问题的唯一解；当确定了导体外的电势，导体上的面密度亦能确定。=Oonls;3.例题[例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是&1与&2。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布解：设导体球上下半球各自带电量为91和q2，则Q=q1+q2又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即

说明： ➢ 唯一性定律是求解静电问题指导。不论用什么方法（包 括试探）得到满足条件的解，一定是问题的唯一解； ➢ 当确定了导体外的电势，导体上的面密度亦能确定。   =   − i 3. 例题 n S [例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限 大介质的分界面上，介质的介电常数分别是ε1与ε2。若 导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布 解: 设导体球上下半球各自带电量为q1和q2 ，则Q=q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即