中山大学：《电动力学》课程教学资源（课件讲义）第七章 运动电荷的电磁场与电磁辐射

第七章7.1李纳一维谢尔势任意运动带电粒子的电磁场7.2带电粒子的辐射频谱7.3切伦柯夫辐射7.4带电粒子的电磁场对粒子的反作用7.5电磁波的散射和吸收介质的色散7.1李纳-维谢尔势任意运动带电粒子的电磁场李纳-维谢尔势任意运动带电粒子的电磁场设电荷为e的粒子以任意速度v相对于参考系运动，由于推迟势只与粒子的速度V有关而不依赖于其加速度，故可在粒子静止的参考系与Z系之间，对四维势作洛伦兹变换，由此得李纳一维谢尔势eve(7.1)A=， =4ro(r-v-rlc)4元oc(r-v.rlc)其中v=v(t)是粒子发出辐射时刻t的速度，此时它的位失为x(t)，r=x-x。t)是t时刻粒子至场点x的矢径，r是t时刻粒子至场点的距离.由于推迟效应，场点在t=t+rlc时刻才观测到电磁场.由as-cgvt'-aAot'E=-Vo-atat'at' tB=VxA=VxAlm数 +V1,=e,×Elcat'得Z系中观测到的电磁场为J(1-y2 /c2)(e, -vc) e, ×[(e, -vlc)xi]E=4元80/r2(1-e,.vc)3*cr(1-e,we)3J(7.2)B=e,xElc其中e，是r方向的单位矢量，E的第一项仅与粒子速度v有关而与加速度i无关，且～1/r2，这项是和粒子不可分离的自场，主要存在于粒子附近；第二项与粒子的速度和加速度均有关，且～1/r，这项是粒子的辐射场.若粒子的加速度讠=0，则不会发生辐射，只有粒子的自场辐射场的瞬时能流密度S=-ExBlμo=SocEe,(7.3)e, x[(e, -vc)×可]?e?16元260c3,2(1-e, *v/c)6以粒子辐射时刻t表示的瞬时辐射功率为1

第七章 7.1 李纳-维谢尔势 任意运动带电粒子的电磁场 7.2 带电粒子的辐射频谱 7.3 切伦柯夫辐射 7.4 带电粒子的电磁场对粒子的反作用 7.5 电磁波的散射和吸收 介质的色散 7.1 李纳-维谢尔势 任意运动带电粒子的电磁场 李纳-维谢尔势 任意运动带电粒子的电磁场 设电荷为 的粒子以任意速度 e v 相对于 参考系Σ 运动,由于推迟势只与粒子的速度 v 有关而不依赖于其加速度,故可在粒子静止的 参考系与Σ系之间,对四维势作洛伦兹变换,由此得李纳一维谢尔势 )/(4 2 0 crc e rv v A ⋅− = πε , 0 cr )/(4 e ⋅− rv = πε ϕ (7.1) 其中 是粒子发出辐射时刻 = vv t′)( t′的速度,此时它的位矢为 t )( e x ′ , t )( e = − xxr ′ 是t 时 刻粒子至场点 的矢径, ′ x r 是t 时刻粒子至场点的距离.由于推迟效应,场点在 时 刻才观测到电磁场.由 ′ = ′ + /crtt t t t t tt ∂ ∂ ′ ∂ ′ ∂ ∇ ′ − ∂ ′ ∂ −= ∂ ∂ −−∇= A A E ϕ ϕ c t t t E/e A AAB r ×= ∂ ′ ∂ ∇+×∇=×∇= ′× ′=常数 得Σ系中观测到的电磁场为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅− ×−× + ⋅− − = 2 3 2 3 22 0 )(1 ])/[( )(1 ))((1 4 crc c r c e ccv v/e vvee v/e v/e/ E r rr r r - & πε EeB /c r ×= (7.2) 其中 er 是 r 方向的单位矢量. E 的第一项仅与粒子速度v 有关而与加速度 无关,且 , 这项是和粒子不可分离的自场,主要存在于粒子附近；第二项与粒子的速度和加速度均有关, 且 ,这项是粒子的辐射场.若粒子的加速度 v& 2 1/r~ 1/r~ v& = 0 ,则不会发生辐射,只有粒子的自场. 辐射场的瞬时能流密度 r r rr r e ve vvee BES e 6 2 23 0 2 2 2 00 )/(1 ])/[( 16 / c c rc e cE ⋅− ×−× = =×= & επ εμ (7.3) 以粒子辐射时刻t′表示的瞬时辐射功率为 1

dtr2doP(t')dt'(7.4)+ le, ×[(e, -vc)x可]?e2do16元50℃(1-e, -vc)5辐射功率角分布为e?[en ×[(en - ve)× 可]?dP(t')(7.5)16元*60c3do(1-envc)s（7.1)～（7.5）式是任意运动带电粒子辐射问题的基本公式低速运动粒子的辐射当粒子速度V<<c且作加速运动时，由(7.2）～(7.4)式，有e,x(e,xi)eE=B=en×E/c(7.6)4元80℃?re'i?S:sinCen(7.7)16元℃3e?j22(7.8)6元80c3θ是辐射方向e，与加速度的夹角，可见在与垂直的方向上辐射最强.由于粒子的电偶极矩为p=ex。，p=ex。=ei，故低速运动粒子加速时的辐射是电偶极辐射，高速运动粒子的辐射当//v，即粒子作直线加速时，由(7.2)～(7.5)式，有e,x(enxi)eE=B=e, ×E/c(7.9)4元oc*r (1-e, -v/c)3e?i?sin'edP(t)(7.10)do16元6gc3（1-Bcos0)5e?e?;22P(t) =(7.11)6元2omgc36元80℃(7.10)式中是辐射方向e与速度v的夹角，β=v/c.(7.11)式中F=dp/dt=mi是粒子受到的作用力，当工v，即粒子作圆周轨道运动时，令某瞬时v沿=方向，沿x方向，（7.5)和(7.4)式给2

∫ ∫ Ω ⋅− ×−× = Ω ′ ′ ⋅= d c c e dr td dt tP 5 2 3 0 2 2 2 )/(1 ]/c)[( 16 )( ve vvee eS r rr r & επ (7.4) 辐射功率角分布为 5 2 3 0 2 2 )(1 ]c)[( 16 )( c c e d tdP v/e vv/ee n nn ⋅− ×−× = Ω ′ & επ (7.5) (7.1)～ (7.5)式是任意运动带电粒子辐射问题的基本公式. 低速运动粒子的辐射 当粒子速度 << cv 且作加速运动时,由(7.2) ～(7.4)式,有 c r e )( 4 2 0 vee E nn × × & = πε , E/eB c = n × (7.6) n e v S θ επ 2 23 0 2 22 sin 16 rc e & = (7.7) 3 0 22 6 c e P πε v& = (7.8) θ 是辐射方向 与加速度 的夹角,可见在与v 垂直的方向上辐射最强.由于粒子的电偶极 矩为 , ,故低速运动粒子加速时的辐射是电偶极辐射. n e v& & e = exp ee vxp &&&&& e == 高速运动粒子的辐射 当v& ∥v ,即粒子作直线加速时,由(7.2)～(7.5)式,有 2 3 0 )(1 )( 4 rc c e v/e vee E n nn ⋅− × × = & πε , E/eB c = n × (7.9) 5 2 3 0 2 22 )cos(1 sin 16 )( θβ θ επ − = Ω ′ c e d tdP v& (7.10) 2 32 00 2 6 3 0 22 6 6 )( F cm e c e tP πε γ πε ′ = = v& (7.11) (7.10)式中θ 是辐射方向 与速度 n e v 的夹角, β = /cv .(7.11)式中 是粒 子受到的作用力. pF v& 0 3 == γ m/dtd 当v& ⊥v ,即粒子作圆周轨道运动时,令某瞬时v 沿 z 方向, v& 沿 x 方向,(7.5)和(7.4)式给 2

出dP(t) -e*;2_(1-βcos0)? -(1- β2)sin'ecos*g(7.12)do16元5℃3(1-βcos)e2e?;2rEomicsr'F?P(t) =(7.13)6元.(7.13)式表示，在一定作用力下，圆周型（回旋)加速器中粒子因辐射而损耗的功率，与其能量W=mc2的平方成正比，即粒子能量越高，辐射损耗越大，粒子加速能量受到限制.而(7.11)式表示，在一定作用力下，直线加速器中粒子辐射而损耗的功率，与其能量无关，即加速能量不受限制.7.2带电粒子的辐射频谱带电粒子加速时产生的辐射通常是脉冲式的.由傅里叶分析，脉冲波可表为各单色波的叠加.电场强度的傅里叶变换为E(x,t)= [E(x)e-ian da(7.14)["E(x,t)el" dtE(x)=(7.15)2元其中E(x,I)为(7.2)式的第二项即粒子的辐射场.由上述变换，有[[E(x,t) dt = 4元E。(x) da(7.16)以R表示坐标原点到场点的距离，e，表示这方向的单位矢量，在远处，粒子到场点的距离r=R-e,x。,将(7.2)式第二项E(x,t)代入(7.15)式,得e_ e " e, [(e, -)leo( d'(7.17)E(x)=8元'sc R J((1-en-v/e)?单位频率间隔辐射的能量角分布为dW = 4nE.cR*[E.](7.18)da对dQ积分，得单位频率间隔辐射的能量$ERd2W。=4元80cg(7.19)若知道粒子的运动轨迹，速度v和加速度讠，由(7.17)式可给出E。，再由(7.18)和(7.19)式便可计算辐射频谱.当粒子速度V<<c，(7.17)式变为3

出 5 2 222 3 0 2 22 )cos(1 cos)sin(1)cos(1 16 )( θβ φθβθβ επ − − − = Ω ′ - c e d tdP v& (7.12) 22 32 00 2 4 3 0 22 6 6 )( F cm e c e tP γ πε γ πε ′ = = v& (7.13) (7.13)式表示，在一定作用力下,圆周型(回旋)加速器中粒子因辐射而损耗的功率,与其能量 的平方成正比,即粒子能量越高,辐射损耗越大,粒子加速能量受到限制.而(7.11) 式表示，在一定作用力下,直线加速器中粒子辐射而损耗的功率,与其能量无关,即加速能量 不受限制. 2 0 = γ cmW 7.2 带电粒子的辐射频谱 带电粒子加速时产生的辐射通常是脉冲式的.由傅里叶分析,脉冲波可表为各单色波的 叠加.电场强度的傅里叶变换为 ω ω ω t de− ti ∞ ∫ ∞ = - xExE )(),( (7.14) dtet ωti ω π ∫ ∞ ∞ = - ),( 2 1 xE )( xE (7.15) 其中 为 xE t),( (7.2)式的第二项即粒子的辐射场.由上述变换,有 ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ = 0 2 2 xE dtt π ω xE )(4),( dω - (7.16) 以 R 表示坐标原点到场点的距离, 表示这方向的单位矢量,在远处,粒子到场点的距离 ,将(7.2)式第二项 代入(7.15)式,得 n e xe en Rr ⋅−≅ xE t),( tde c c R e c e cti ikR ′ ⋅ × × = ′ ⋅ ∞ ∫ ∞ ( ) 2 2 0 2 )(1 ])[( 8 )( /xe n nn en v/e vv/ee xE - - - - ω ω επ & (7.17) 单位频率间隔辐射的能量角分布为 2 2 4 0 ω ω πε Ω cR E d dW = (7.18) 对 dΩ 积分,得单位频率间隔辐射的能量 ∫ ω = πε ω dRcW Ω 2 2 0 4 E (7.19) 若知道粒子的运动轨迹,速度v 和加速度v ,由(7.17)式可给出 ,再由(7.18)和(7.19)式便可 计算辐射频谱.当粒子速度 ,(7.17)式变为 & Eω << cv 3

eeikR[e.x(e,xi)leio"dtE。(x)=(7.20)8元50c2RJ-例如，当带电粒子射向介质时，粒子与介质内的原子发生碰撞而减速所产生的辐射.设很短时间内粒子速度改变量为4v，且频率の>1/t，则eie"=0，E。(x)=0,W。=0.上述结果在频率较低时，与X射线的实验结果有较好符合，但在高频段与实验结果不符.7.3切伦柯夫辐射在真空中，带电粒子加速时才发生辐射.但是在介质内，当带电粒子匀速运动且其速度V超过介质中的光速，即v>c/n（n为介质的折射率）时，会产生辐射一一即切伦柯夫辐射.这是由于运动粒子的电磁场使介质分子出现诱导电流，粒子的电磁场与诱导电流的电磁场互相干涉而形成的辐射.若介质磁导率μ=Mo，只要把(7.17)式相因子eio(r-eaxlc)中的光速c，换为介质中的光速c/n，再由(7.18)式可以计算切伦柯夫辐射频谱.7.4带电粒子的电磁场对粒子的反作用电磁作用是自然界的基本相互作用之一.带电粒子的自场对粒子的反作用，通过质能关系表现为粒子具有电磁质量.由于粒子的自场总是和粒子不可分割地联系在一起，因此带电粒子的静止能量包含着它的自场能量，静止质量包含着它的电磁质量带电粒子的辐射场对粒子的反作用，表现为粒子受到辐射阻尼力.若粒子运动速度V较低，辐射阻尼力的周期平均值为e"jF:(7.24)6元80c7.5电磁波的散射和吸收介质的色散4

∫ ∞ ∞ ′ = ×× ′ - tde R e c e ti ikR ω ω επ )]([ 8 )( 2 0 2 xE vee nn & (7.20) 例如,当带电粒子射向介质时,粒子与介质内的原子发生碰撞而减速所产生的辐射.设很短时 间τ 内粒子速度改变量为 Δv ,且频率ω >1/τ ,则 ≅ 0 , , ti ′ e ω xE ≅ 0)( ω Wω ≅ 0 .上述结果在频率较低时,与 X 射线的实验结果 有较好符合,但在高频段与实验结果不符. 7.3 切伦柯夫辐射 在真空中,带电粒子加速时才发生辐射.但是在介质内,当带电粒子匀速运动且其速度v 超过介质中的光速,即 ( 为介质的折射率)时,会产生辐射——即切伦柯夫辐射.这 是由于运动粒子的电磁场使介质分子出现诱导电流,粒子的电磁场与诱导电流的电磁场互相 干涉而形成的辐射.若介质磁导率 > /ncv n μ = μ 0 ,只要把(7.17)式相因子 中的光速 ,换 为介质中的光速 ,再由(7.18)式可以计算切伦柯夫辐射频谱. ( cti ) e /xe en ω ′- ⋅ c /nc 7.4 带电粒子的电磁场对粒子的反作用 电磁作用是自然界的基本相互作用之一.带电粒子的自场对粒子的反作用,通过质能关 系表现为粒子具有电磁质量.由于粒子的自场总是和粒子不可分割地联系在一起,因此带电 粒子的静止能量包含着它的自场能量,静止质量包含着它的电磁质量. 带电粒子的辐射场对粒子的反作用,表现为粒子受到辐射阻尼力.若粒子运动速度 v 较 低,辐射阻尼力的周期平均值为 3 0 2 6 c e s πε v F && = (7.24) 7.5 电磁波的散射和吸收 介质的色散 4

外来电磁波作用到电子上时，电子将作受迫振动而产生辐射，入射波部分能量变为电子的辐射能量，这现象称为电子对电磁波的散射自由电子对电磁波的散射这种散射称为汤姆孙散射.当电子速度v>r。=e2/4元8。mc2（电子“经典半径”），故可略去阻尼力，方程(7.25)的近似解为eE.x=(7.26)mo将电子加速度代入(7.6)的第一式，得电子散射波电场一电偶极辐射场-eE=[en x(en xx)]4元0c*(7.27)e'E.sinaer(k-r-n)e,4元60mcrα是散射波矢方向e.与入射波电场E。偏振方向的夹角，e.是散射波电场偏振方向的单位矢量.入射波平均能流密度(即入射波强度)为1。=S。=6ocE/2.由(7.27)式可计算出平均散射能流密度S和平均散射功率P3-l28P=$sr?dQ=-(1+cos'0)loen，mr(7.28)2斤239是散射波矢与入射波矢的夹角.散射总截面定义为P与1。之比：P_8元,2(7.29)C1"微分散射截面定义为单位立体角内的散射功率与1。之比：dP/dodor-福2-+r(+o0)(7.30)Ido束缚电子对电磁波的散射5

外来电磁波作用到电子上时,电子将作受迫振动而产生辐射,入射波部分能量变为电子 的辐射能量,这现象称为电子对电磁波的散射. 自由电子对电磁波的散射 这种散射称为汤姆孙散射.当电子速度 > 2 / 4πε 0mcer 2 (电子“经典半径”),故可略去阻尼力,方程(7.25)的近似解为 ti e m e ω ω − −= 2 E0 x (7.26) 将电子加速度 代入 x&& (7.6)的第一式,得电子散射波电场——电偶极辐射场 s ti e rmc Ee rc e e E xee rk nn )( 2 0 0 2 2 0 sin 4 )]([ 4 ω α πε πε −⋅ = = ×× && (7.27) α 是散射波矢方向 与入射波电场 偏振方向的夹角, 是散射波电场偏振方向的单位 矢量. n e E0 s e 入射波平均能流密度(即入射波强度)为 2 2 00 0 0 == ε cESI / .由(7.27)式可计算出平均 散射能流密度 S 和平均散射功率 P n S e0 2 2 2 )cos(1 2 1 I r re += θ , 0 2 2 3 8 = = πΩ e IrdrSP ∫ (7.28) θ 是散射波矢与入射波矢的夹角.散射总截面定义为 P 与 之比： 0 I 2 0 3 8 Τ e r I P π σ == (7.29) 微分散射截面定义为单位立体角内的散射功率与 之比: 0 I )cos(1 2 1 2 2 0 θ Ω Ω σ e +== T r I dPd d d / (7.30) 束缚电子对电磁波的散射 5

经典物理把原子内的束缚电子看作固有角频率为の。的谐振子.当电磁波入射至振子时，将受到电场E.e-ier、辐射阻尼力和恢复力-mの.x的作用，运动方程为x+x+0ix=三Ee-ien(7.31)m其中=e2/6元8mc为阻尼系数.这方程的解为1eEge-i(ar-8)(7.32)m /(o -0") +0*yoy其中tang=-(7.33)of-0?从(7.32)式求出加速度并代入(7.6)式，得散射波电场1eo'E.sinaei(k.r-an)e,E-(7.34)4元mcr(0%-0)-i0α是散射方向e.与入射波电场E。的夹角.平均散射功率与散射截面为o*P_8mgl(7.35)3(0 -03)? +0*y?o4P_8mr(7.36)6=11。3(0-02)2+02当入射波频率の>0，=，即过渡到自由电子散射当の==(/）,即出现共振当含有众多频率的电磁波投射到原子中的束缚电子时，频率为の=の。的入射波能量被振子吸收，振幅增大，直到振子的散射能量等于吸收能量，振幅才达到稳定值.从量子力学的观点来看，“振子”的固有频率为の。=4E/h，4E是原子两个相邻能级的能量差，入射光子频率の三①。时，原子吸收了这个光子，并从基态跃迁到激发态；反之，当原子从激发态跃迁回基态时，将放出一个频率为の=4E/h的光子介质色散电磁波入射到介质内时，由大量电子散射波的叠加，形成介质内的电磁波.设介质单位体积的电子数为N，其中故有频率为の。=の,的电子数为Nf.，f,为分数，由(7.32)式，得介质6

经典物理把原子内的束缚电子看作固有角频率为ω0 的谐振子.当电磁波入射至振子时, 将受到电场 、辐射阻尼力和恢复力 E0e − ωti − mω 0 2 x 的作用,运动方程为 ti e m e ω ωγ − =++ 0 2 &&& 0 Exxx (7.31) 其中 = e 22 / 6πεωγ 0mc 3 为阻尼系数.这方程的解为 )( 0 22222 0 )( 1 δω γωωω −− +− = ti e m e x E (7.32) 其中 22 0 tan ωω ωγ δ − = (7.33) 从(7.32)式求出加速度 并代入 x&& (7.6)式,得散射波电场 s t-i e rmc i Ee E e rk )( 22 0 2 0 0 2 sin )( 1 4 ω α ωγωωπε ω ⋅ − = - (7.34) α 是散射方向 与入射波电场 en E0 的夹角.平均散射功率与散射截面为 22222 0 4 0 2 3 )( 8 γωωω π ω +− = Ir P e (7.35) 22222 0 2 4 0 3 )( 8 γωωω π ω σ +− == e r I P (7.36) 当入射波频率 ω > ω 0 ,σ = σ Τ ,即过渡到自由电子散射；当ω = ω0 , ,即出现共振. 2 ( /γωσσ ) = Τ 当含有众多频率的电磁波投射到原子中的束缚电子时,频率为ω = ω0 的入射波能量被 振子吸收,振幅增大,直到振子的散射能量等于吸收能量,振幅才达到稳定值.从量子力学的 观点来看,“振子”的固有频率为ω0 = ΔE/h , ΔE 是原子两个相邻能级的能量差,入射光子 频率ω = ω0 时,原子吸收了这个光子,并从基态跃迁到激发态；反之,当原子从激发态跃迁回 基态时,将放出一个频率为ω ≅ ΔE/h的光子. 介质色散 电磁波入射到介质内时,由大量电子散射波的叠加,形成介质内的电磁波.设介质单位体 积的电子数为 N ,其中故有频率为ω 0 = ωi 的电子数为 Nfi , fi 为分数,由(7.32)式,得介质 6

的极化强度Ne?力P=Nfex =-E(7.37)m (o,-0')-i01,是第i个振子的阻尼系数.由P=60xE，8=6(1+x）=808,，得电容率J.(0)=6,+(7.38)(o, -")-ioy.mi相对电容率的实部'=1+Ne?f(o, -0")(7.39)Ime (o, -0") +0r描写色散关系：相对电容率的虚部e'-Ne?f.oy.(7.40)-2m8(0,-0)°+0描写电磁波的吸收.利用(7.38)～(7.40)式讨论绝缘体、导体和等离子体对电磁波的色散与吸收现象时，存在着局限性.原因在于，经典振子模型不能反映原子的真实结构以及电磁作用的微观动力学机制，也无法给出合理的电子固有频率の，7

的极化强度 ∑∑ −− == i i i i i i i f m Ne P eNf x E )( ωγωω 22 2 (7.37) i γ 是第i 个振子的阻尼系数.由 = ε 0χ eEP , e r ε ε χ ε ε 0 0 = + )1( = ,得电容率 ∑ −− += i i i i i f m Ne ωγωω εωε )( )( 22 2 0 (7.38) 相对电容率的实部 ∑ +− − ′ += i i i ii r f m Ne 22222 22 0 2 )( )( 1 γωωω ωω ε ε (7.39) 描写色散关系；相对电容率的虚部 ∑ +− ′′ = i i i ii r f m Ne 22222 0 2 2 )( γωωω ωγ ε ε (7.40) 描写电磁波的吸收. 利用(7.38)～(7.40)式讨论绝缘体、导体和等离子体对电磁波的色散与吸收现象时,存在 着局限性.原因在于,经典振子模型不能反映原子的真实结构以及电磁作用的微观动力学机 制,也无法给出合理的电子固有频率ω i . 7