中山大学：《电动力学》课程教学资源（课件讲义）第二章 静电场及其边值问题

第二章静电场及其边值间题2.1静电场和静电势2.2电势多极展开2.3静电能外电场对电荷体系的作用能2.4静电场边值问题2.1静电场和静电势静态平衡下的电荷分布产生静电场，电荷和电场的分布均与时间无关，场方程为(2.1)V.E=pl60,VxE=0无旋性的积分形式$E-dl=0(2.2)L表明静电场为保守力场，它对电荷作的功与路径无关，只与电荷的始末位置有关故可引入标势函数，使(2.3)E=-Vo任意两点x与xo之间的电势差，等于电场将单位正电荷从x点移至x。点作的功：9(x)-0(xo)= r E-dl(2.4)因此，用电势描述电场时，必须选择电势零点.如令(xo)=0，则任一点的电势0(x)= ["* E·dl(2.5)就表示单位电荷在该点的静电势能，此时β的空间分布才构成有明确意义的标量场.当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远即xo=为电势零点，则任一点x的电势为(2.6)p(x)= [LE-d将(2.3)式代入(2.1)第一式，得电势的泊松方程=-p/8(2.7)-

第二章 静电场及其边值问题 2.1 静电场和静电势 2.2 电势多极展开 2.3 静电能 外电场对电荷体系的作用能 2.4 静电场边值问题 2.1 静电场和静电势 静态平衡下的电荷分布产生静电场,电荷和电场的分布均与时间无关,场方 程为 0 ∇⋅ E = ρ/ε ，∇× E = 0 (2.1) 无旋性的积分形式 ∫ =⋅ L lE 0d (2.2) 表明静电场为保守力场,它对电荷作的功与路径无关,只与电荷的始末位置有关. 故可引入标势函数ϕ ,使 E = −∇ϕ (2.3) 任意两点 x 与 x0 之间的电势差,等于电场将单位正电荷从 x 点移至 点作的功： 0 0 x lExx x x d)()( 0 0 ⋅=− ∫ ϕϕ (2.4) 因此,用电势描述电场时,必须选择电势零点.如令ϕ x = 0)( ,则任一点 x 的电势 lEx x x d)( 0 ⋅= ∫ ϕ (2.5) 就表示单位电荷在该点的静电势能,此时ϕ 的空间分布才构成有明确意义的标量 场. 当电荷分布于有限区域时,通常以无穷远即 x0 = ∞ 为电势零点,则任一点 x 的电势为 lEx x ⋅= d)( ∫ ∞ ϕ (2.6) 将(2.3)式代入(2.1)第一式,得电势的泊松方程 0 2 −=∇ /ερϕ (2.7) 1

这方程在无界空间中的解为0(x)= [ P(x2(2.8)JV4元60其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域V.对(2.8)式取场点的负梯度即给出区域V内的电荷产生的电场：E(x)=-(x)=,(x)a="av(2.9)4元4元8。JV若电荷分布函数p(x)给定，由(2.8)式便可求出电势，再由(2.3)式求出电场若电场已经求出，则由(2.5)或(2.6)式便可求出电势.如果已知电场或电势分布，由(2.1)的第一式，或泊松方程(2.7)，可求出电荷分布例1.均匀电场Eo的电势(教材P41)［解]均匀电场的场强E。=常矢量，可看成由“无穷大”均匀带电平板产生，不可以取无穷远为电势零点.计算P与0两点间的电势差p(x)-0(0)="Eo-dx--J,Eo-dx=-Eo*x选择坐标原点电势p(0)=0，并令E。=Eoe:，有p(x)=-Eo-x=-E.Rcoso其中R=xl.例2.无穷长带电直导线的电势（教材P42)2.2电势多极展开任何一个电荷系统在其外部的电势或电场，原则上均可表示成一系列多极矩场的叠加.反之，若能探测到电荷系统在其外部的电势或电场，便可推知其电荷分布.由a-.(2.10)r=x-xl为电荷分布x'点到场点x的距离，记R=x|为坐标原点到场点的距离当系统的线度Ixk<r，可将上式按/xI/R展开为泰勒级数，这级数将给出系统各级多极矩在远处的电势。2

这方程在无界空间中的解为 V V r ′ ′ = ∫ d 4 )( )( πε 0 ρ ϕ x x (2.8) 其中无穷远处为电势零点,积分遍及电荷分布区域V .对(2.8)式取场点的负梯度, 即给出区域V 内的电荷产生的电场: V r V r V V ′ ′ =−∇= ′ ∇ ′ = ∫ ∫ d )( 4 1 d 1 )( 4 1 )()( 3 0 0 rx xxE x ρ πε ρ πε ϕ - (2.9) 若电荷分布函数 ρ x′)( 给定,由(2.8)式便可求出电势,再由(2.3)式求出电场. 若电场已经求出,则由(2.5)或(2.6)式便可求出电势.如果已知电场或电势分布,由 (2.1)的第一式,或泊松方程(2.7),可求出电荷分布. 例 1.均匀电场 E0 的电势(教材 P41). [解] 均匀电场的场强 E0 = 常矢量，可看成由“无穷大”均匀带电平板产 生，不可以取无穷远为电势零点.计算P与O 两点间的电势差 E xE x xE x x ⋅−=⋅−= ⋅=− ∫ ∫ 0 0 0 0 0 d d)0()( x ϕϕ θ z x O E0 P 选择坐标原点电势ϕ = 0)0( ,并令 E00 z = eE ，有 ϕ )( −= 0 ⋅ xEx −= 0RE cosθ 其中 . R = x || 例 2. 无穷长带电直导线的电势(教材 P42). 2.2 电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电势或电场,原则上均可表示成一系列多极 矩场的叠加.反之,若能探测到电荷系统在其外部的电势或电场,便可推知其电 荷分布.由 V V r ′ ′ = ∫ d 4 )( )( πε 0 ρ ϕ x x (2.10) r −= xx ′ || 为电荷分布 x′ 点到场点 x 的距离,记 R = x || 为坐标原点到场点的距离. 当系统的线度 x′ || << r ,可将上式按 x′ /|| R 展开为泰勒级数,这级数将给出系统各 级多极矩在远处的电势. 2

一维函数f(x-x)在x=0附近的级数展开为r'r,aff1f(x-x)= f(x)+xax21ax2各级导数在x=0处取值.对于三维函数f(x-x)在x=0附近的展开，就有aif(x-x)=f(x)+Zx x,(ax,xx..(V'f).= f(x)+x'-(V'f)+-= f(x)-x'Vf(x)+Ixx":vvf(x).21最后一步利用了算符代换V→-V.令f(x-x)=1/r，上式给出1-1-x.v1+1xx:vv!(2.11)rRRR2注意到v(1 /R)=-R/R3,将(2.11)代入(2.10),便给出：a21+PR.1Z9....p(x)=4元。RR36j=l"ox,ox, R(2.12)=p(0) +p() + (2) + ...这级数一般地包含各级多极矩在远处的电势.前三项为：qp(0)(x) =(单极项，～1/R）(2.13)4元60Rp·R(偶极项，～1/R2)(2.14)g(1)(x)=4元60R3a2131p(2) (x) =TO(四极项,～1/R3)(2.15)24元81ax,ox,R其中系统的净电荷量q，电偶极矩p和电四极矩①分别由下面的积分给出q=J,p(xdv"(2.16)p=J,p(x)x'av(2.17), = 3xx,p(x')dV"(2.18)单极项电势和电场场单极项电势(0)有球对称性，它相当于系统的净电荷q集中于坐标原点时产生的电势.电场E。=-V(O)当然也是球对称的偶极项电势和电场电场由E。=-V()给出.由于P与场算符V无关，因此3

一维函数 − xxf ′)( 在 x′ = 0附近的级数展开为 ⋅⋅⋅+ ∂ ′ ∂ + ′′ ∂ ′ ∂ − ′ += ′ 2 2 2! 1 )()( x f xx x f xxfxxf 各级导数在 x′ = 0 处取值.对于三维函数 f − xx ′)( 在 x′ = 0附近的展开,就有 −= ′ +∇⋅ ′′ ⋅⋅⋅∇∇ += ′⋅ ′ +∇ ∇′′′ ′ ⋅⋅⋅∇ ⋅⋅⋅+ ∂ ′ ∂ ′ ∂ + ′′ ∂ ′ ∂ − ′ += ′ ∑∑= = )( 2! 1 )()( )( 2! 1 )()( )( 2! x 1 )()( 3 1 3 1 xxxxxx xx xx xxx f f f f f f x f xx x f f xf ji, ji ji i i i : : 最后一步利用了算符代换 ′ −∇→∇ .令 f − xx ′ = /1)( r ,上式给出 −= ′ +∇⋅ ′′ ⋅⋅⋅∇∇ r RR R 1 2 1111 x xx : (2.11) 注意到 ,将(2.11)代入(2.10),便给出: 3 −=∇ R /)/1( RR L L +++= + ∂∂ ∂ + ⋅ += ∑= (0) (1) (2) 3 2 1, 3 0 ] 1 6 1 [ 4 1 )( ϕϕϕ πε ϕ R R Rxx q ji ji Dij Rp x (2.12) 这级数一般地包含各级多极矩在远处的电势.前三项为: R q 0 (0) 4 )( πε ϕ x = (单极项,～ /1 R ) (2.13) 3 0 (1) 4 )( πε R ϕ Rp x ⋅ = (偶极项,～ ) (2.14) 2 /1 R ∑= ∂∂ ∂ = 3 1, 2 0 (2) 1 24 1 )( ji ji ij Rxx D πε ϕ x (四极项,～ ) (2.15) 3 /1 R 其中系统的净电荷量 q,电偶极矩 p 和电四极矩Dij 分别由下面的积分给出 q V V = ′′ ∫ ρ x d)( (2.16) V V = ′′′ ∫ ρ xxp d)( (2.17) ∫ = ′′′′ V Dij ji ρ x )d(3 Vxx (2.18) 单极项电势和电场 单极项电势 有球对称性,它相当于系统的净电荷 集中于坐标原点时产生的电势.电场 当然也是球对称的. (0) ϕ q = q )0( E −∇ϕ 偶极项电势和电场 电场由 Ep −∇= ϕ(1)给出.由于 p 与场算符∇ 无关,因此 3

有RRRD·R+(p.VDXCVR3=P.DPR3R=(VR-) R+R=VR=-3RR+芒V.R+R3R3R'故电偶极矩P的电场为p.VR..13(p-R)R_ P,)E=-Vp() =(2.19)4元80R3-4元60R5R3当电偶极矩沿z轴，即p=pe:，其电势和电场分布就有z轴的对称性：0p((x)=coso(2.20)4元80R?PE-Vp(l) =(2.21)(2cosder+sindeg)4元50四极项电势和电场由于a2 1-1a1R=-V?()-28V.当R+00R3P台x,R"ax,ax,Ri.j=l四极项电势(2.15)也可写为a21-1(2.22)02(x)=24元0L[.(3x/x, -"28,)p(x)dV)ax,ox, R其中r=(x2+y*2+22)1/2是电荷分布点到坐标原点的距离.于是由(2.22)式，电四极矩可重新定义为, = J,(3xx, -r"28,)p(x'dV"(2.23)(2.18)和(2.23)式定义的四极矩均为对称张量，即①，=①，但(2.23)是无迹张量，满足の，+①+の=0，因此它只有5个独立分量.对同一个电荷系统，用这两个定义计算出的四极矩一般不同，但给出的四极矩电势是一样的电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，随着R的增加，高级矩的电势比低级矩的电势衰减得更迅速.因此任何电荷系统在其外部的场，均以其最低级矩的场为主。从(2.17)式可看出，若电荷分布存在关于坐标原点的对称性，这系统的电偶极矩p=0。从(2.18)或(2.23)式则可看出，若电荷分布存在关于坐标原点的反对称性，4

有 3 3 3 3 ][ R R R R R p R p R p Rp ∇⋅=∇⋅+×∇×= ⋅ ∇ ）（）（ 5 3 3 3 3 3 R I R RR R →→ +=∇+∇=∇ RR RR R - - - ）（ 故电偶极矩 的电场为 p ] )3( [ 4 1 4 1 5 3 0 3 0 (1) R RR R pRRp E p - ⋅ =∇⋅ − =−∇= πε πε ϕ (2.19) 当电偶极矩沿 z 轴,即 = pep z ,其电势和电场分布就有 z 轴的对称性: θ πε ϕ cos 4 )( 2 0 (1) R p x = (2.20) 2cos( )sin 4 0 (1) θθ θ πε E ϕ ee =∇− R + p (2.21) 四极项电势和电场 由于 0 1 1 ) 1 ( 3 2 1 3 1 2 2 2 3 = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ =−∇=⋅∇ ∑∑ R R = x R = Rxx ji, ji ij i i - - δ R , 当 R ≠ 0 四极项电势(2.15)也可写为 Rxx rxx V ji ji, V ji ij 1 (3[ ])d() 24 1 )( 3 2 1 2 0 )2( ∂∂ ∂ = ∑ ′′ − ′′′ ∫ = x ρδ x πε ϕ (2.22) 其中 是电荷分布点到坐标原点的距离.于是由(2.22)式，电四 极矩可重新定义为 1/2222 ′ = ( ′ + ′ + zyxr ′ ) ∫ = ′′ − ′′′ V ij (3 ji rxx ij )d() V 2 D ρδ x (2.23) (2.18)和(2.23)式定义的四极矩均为对称张量,即D =Dijji ,但(2.23)是无迹张量，满 足D ++ DD zzyyxx = 0 ,因此它只有 5 个独立分量.对同一个电荷系统,用这两个定 义计算出的四极矩一般不同,但给出的四极矩电势是一样的. 电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩,而各级矩的电势按距离 的负 幂次衰减,随着 的增加,高级矩的电势比低级矩的电势衰减得更迅速.因此任何 电荷系统在其外部的场,均以其最低级矩的场为主. R R 从(2.17)式可看出,若电荷分布存在关于坐标原点的对称性,这系统的电偶极 矩 p = 0 .从(2.18)或(2.23)式则可看出,若电荷分布存在关于坐标原点的反对称性, 4

全部电四极矩分量の，=0.例如CO2分子，其净电荷q=0，又由于所有原子都沿直线排列而且有对称性，故其总电偶极矩p=0，但其电四极矩①，±0.又如H20分子，净电荷q=0,但p0，，0.原子核在其周围带电粒子的电场作用下会发生形变，因而也具有电四极矩例4.半径为α的球面电荷面密度为α=oocose"，求远处的电势（准确到四极项).其中α。为常数.【解】如果我们将导体球或线性均匀电介质球置入均匀电场E中，导体球面出现的感应电荷分布，或电介质球面出现的极化电荷分布，就都有α=6ocos0的形式。由于电荷分布有关于z轴的对称性，而且有关于坐标原点的反对称性可知净电荷q和电四极矩の均为零，但电偶极矩p+0.由p=fcocosex'ds电荷分布点为x=ae,，即'=asing'coss',y'=asing'sing",z=acoso球面积元为ds'=a’sinoded.得这电荷分布所形成的电偶极矩各分量：Px=f,oocoso'x'ds'=0,，P,=foocosoy'ds'=0P:=f.oocosods"=aol.cos*0'sinaofag=4ao/3即有_4元a00ps3于是远处的电势为0(x)=g(x)=_P:R =4'0 cos04元60R3=360R2这其实也是球面电荷分布在球外空间产生的电偶极势，它有z轴的对称性.将P值代入(2.21)式，便得到球外空间的电偶极场例5.线四极子的电势和电场【解】如右图.由结构的对称性，可看成由一对等值反向的电偶极子p组成5

全部电四极矩分量Dij = 0 .例如 CO2 分子,其净电荷 q=0,又由于所有原子都沿直 线排列而且有对称性，故其总电偶极矩 p = 0 ,但其电四极矩Dij ≠ 0 .又如 H2O 分 子,净电荷 q=0,但 p ≠ 0 ,Dij ≠ 0 .原子核在其周围带电粒子的电场作用下会发生 形变,因而也具有电四极矩. 例 4.半径为a 的球面电荷面密度为σ = σ cosθ ′ 0 ，求远处的电势(准确到四极 项).其中σ 0为常数. 【解】 如果我们将导体球或线性均匀电介质球置入均匀电场 E0 中,导体球 面出现的感应电荷分布,或电介质球面出现的极化电荷分布,就都有σ = σ cosθ ′ 0 的形式. 由于电荷分布有关于 z 轴的对称性，而且有关于坐标原点的反对称性, 可知净电荷 q 和电四极矩Dij 均为零,但电偶极矩 p ≠ 0 .由 ∫ ′′ ′ 0 = cosθ x S p σ dS 电荷分布点为 a r x′ = e ，即 ′ = ax sinθ ′cosφ′, y′ = a sinθ′sinφ′ , ′ = az cosθ ′ 球面积元为d θθ ′′ ddsin φ′ .得这电荷分布所形成的电偶极矩各分量: 2 ′ = aS p ′′ dcos ′ = 0 0 = θ Sx ∫S x σ , = ′′ dcos ∫ 0 S y p θσ Sy ′ = 0 3/ 0 3 cos 4ddsin a σ 2 0 0 0 3 σ σ πφθθ π π p a S z ∫ ∫∫ = 0 cos ′′′ = 2 θ dSz ′′′ = θ ′ 即有 z a e 3 0 3 σπ p 4 = 于是远处的电势为 2 0 0 3 3 πε 0R ) ⋅ Rp 3 cos 4 )( R a ε θσ x = = 1( x)( = ϕϕ 这其实也是球面电荷分布在球外空间产生的电偶极势,它有 z 轴的对称性.将 p 值代入(2.21)式，便得到球外空间的电偶极场. 例 5.线四极子的电势和电场. 【解】 如右图.由结构的对称性,可看成由一对等值反向的电偶极子± p组成, 5

故其净电荷和总电偶极矩均为零．但它有四极矩.例如CO2分子.令其沿z轴排列，据(2.18)式，并由各个电荷q的坐标，有 =3== = 3(-q)/ +0 + 3(-q)(-I)(-I)=-6ql =-6plk=其中p=ql.其它分量①,=0.于是由(2.15)式，得远处的电势10.a2 1-6pl-(322-R2)p(2) (x) =0zR-24元8R524元。-pl4ne, R: (3cos'0-1)电场为00(2)+1 0p(2)E =-Vβ(2) =eeeRaRRa-pl-[3(3cos?0-1)eR+6cos(sinQe]4元8R4电势和电场分布有z轴对称性例6.求均勾带电的旋转椭球远处的电势，准确至四极项.（教材P68）【解】例如，原子核的形变使它有一定的电四极矩，一个经典模型是把它看成旋转椭球.设总电荷为9，并令长半轴a沿z轴，短半轴b在xy平面.电荷体密度为p=3q/4mab2.电荷分布便有z轴对称性，也有关于坐标原点的对称性，故电偶极矩p=0.椭球面方程为*2x'2+y"2(1)b2a2为便于计算四极矩，作坐标变换(2)x'=bx，y'=by，2' = az于是(1)式变为半径r=1的单位球面方程：x? +y2 +2? =1(3)其中x=rsinocos，y=rsinasing，z=rcosa.即电荷分布点的坐标和体积元为x'=br singcosg,y'=br sinのsing,z'=rcos@0≤rsl,0≤0≤元,0≤≤2元6

故其净电荷和总电偶极矩均为零. 但它有四极矩.例如 CO2 分子.令其沿 z 轴排 列,据(2.18)式,并由各个电荷qk 的坐标,有 k 3(- lqzzq plqlllq k zz 3 kk 66)())(3(0) 2 2 3 1 = ∑ ′′ ++= −=−= = D - 其中 = qlp .其它分量Dij = 0 .于是由(2.15)式,得远处的电势 )13cos( 4 )3( 24 61 24 1 0 0 πε πε R - pl )( 2 3 22 5 0 2 2 (2) = − = − ∂ ∂ = θ πε ϕ Rz R pl z R zz - x D 电场为 ]sin6cos)13cos(3[ 4 ] 1 [ 2 4 0 2( πε ϕ R pl )2( )2( ) θ θ θ θθ θ ϕ ϕ e e E e e = +− ∂ ∂ + ∂ ∂ −=−∇= R R RR - 电势和电场分布有 z 轴对称性. 例 6.求均匀带电的旋转椭球远处的电势，准确至四极项.（教材 P68） 【解】例如,原子核的形变使它有一定的电四极矩，一个经典模型是把它看 成旋转椭球.设总电荷为 q,并令长半轴 a 沿 z 轴,短半轴 b 在 xy 平面.电荷体密 度为 .电荷分布便有 z 轴对称性,也有关于坐标原点的对称性,故电偶 极矩 .椭球面方程为 2 = /43 πρ abq p = 0 1 2 2 2 2 2 x′ x′ = = ′ + + ′ a z b y (1) 为便于计算四极矩,作坐标变换 bx , ′ = byy , ′ = azz (2) 于是(1)式变为半径r = 1的单位球面方程: 1 (3) 222 x zy =++ 其中 = rx θ cossin φ , = ry θ sinsin φ , = rz cosθ .即电荷分布点的坐标和体积元为 ′ = rbx θ cossin φ , ′ = rby θ sinsin φ , ′ = rz cosθ r ≤≤ 10 , 0 ≤ θ ≤ π , ≤ φ ≤ 20 π 6

dy'= dx'd y'd'=abr? sin @drdedp由于z轴对称性(旋转对称性),有J,xxfdv'=0,当itjJe"av'=a'bl'r'drl, cos'sinaiof" d - 4mb?15Jx°a'-f yra- 4ab15利用9, =J,(3xx, -r"28,)pdV',9+9+9_ =0得0 =J,(3"2 -r")pV"= 2p],(2"2 - x*2)dV"= 29(a"-6b")5-0, =-9(a"-6),,=0，当j①x=の,=-5四极项电势为a?111@(2) (x)24元8axxR02021a21.1G0221ay?ax?24元0R1[(3x2 - R°) +(3y2 -R3) +(32? - R?)9]24元6Rs= g(a2 -b3)(3cos° 0 -1)40元R该系统在远处的电势为0(x)=0(0) +g(2) =_9+ (@(2)4元0R当α=b时就是均匀带电球，此时只有单极势(0)=q/4元6oR.2.3静电能外电场对电荷体系的作用能电荷体系的静电能各向同性线性均匀介质内静电能量密度为w=E·D/2，7

d ddd dddsin φθθ 22 ′ = ′′′ = rrabzyxV 由于 z 轴对称性(旋转对称性),有 ′′′ = 0d ∫V ji Vxx , 当 ≠ ji 15 4 d ddsincosd 23 1 0 0 2 0 2 423 2 ba rrbaVz V π φθθθ π π ′′ = = ∫ ∫∫ ∫ 15 4 d d 4 2 2 ab VyVx V V π ′′ = ′′ = ∫∫ 利用 ∫ = ′′ − ′′ V ij 3( j ij d) Vrxx 2 D ρδ , D + +DD zzyyxx = 0 得 5 )(2 )d(2d)3( 22 22 22 baq VxzVrz V V zz - = - ′′′ = - ′′′ = ∫ ∫ D ρρ 5 )( 2 1 22 baq yyxx zz - D - DD −=== ； Dij = 0，当 ≠ ji 四极项电势为 )1cos3( 40 )( ])(3)(3)[(3 24 1 1 [ ] 24 1 1 24 1 )( 2 3 0 22 22 22 22 5 0 2 2 2 2 2 2 0 3 2 0 1, (2) − − = = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ = ∑= θ πε πε πε πε ϕ R baq Rx Ry Rz R zyx R Rxx xx yy zz xx yy zz ji ji ij D D D DDD D - - - x 该系统在远处的电势为 (2) 0 (2)(0) 4 )( ϕ πε ϕϕϕ +=+= R q x 当 = ba 时就是均匀带电球，此时只有单极势 0Rq/ . (0) ϕ = 4πε 2.3 静电能 外电场对电荷体系的作用能 电荷体系的静电能 各向同性线性均匀介质内静电能量密度为 w ⋅= DE /2 , 7

其中D=E.真空中D=6E.由于电场一般地分布于全空间，因此电荷系统的总静电能，是电场所有分布区域内的能量之和，即总能量一般地由积分W-I.JE Dav(2.24)给出.由V·D=Pr，E=-V，总静电能量也可由下式计算：W=[Prodl(2.25)积分体积V为电荷分布区域例7.电荷q均匀分布于半径为a的球面，求总静电能量.（教材P42,例3)【解】球面电荷密度为α=q/4元a2.球对称电荷分布产生球对称电场.由高斯定理可得E=-qRq当RZa0=4元EOR46OR3q当R<aE=0,9=4元50a电荷只分布于球面，此处电势为常数β=q/4元8oa.故总静电能量为"00-4na*=-W-flois-28元600或者，由于球内电场E=0，电场及其能量分布于球外空间，总静电能量q-a-raraW=[:8元60a带电体的静电场总是与其电荷不可分离.因此带电粒子的静电场能量，属于粒子的自能量.由质能关系W=mc2可知，带电粒子的静止质量m必定包含着电磁质量对于电子，经典理论中的一个假定是：它的电荷-e分布于半径为a的球面，于是由W=m.c?=e?/8元6oa，得出电子的“经典半径”：e2~10-15ma-8元60m.c?但实验显示，直到10-18m的尺度，电子仍然像“点粒子”.因此上述关于电子电荷分布的假定，以及由此得出的所谓电子“经典半径”，根本不能反映电子内部的真实结构8

其中 D = εE .真空中 = ε 0ED .由于电场一般地分布于全空间,因此电荷系统的总 静电能,是电场所有分布区域内的能量之和,即总能量一般地由积分 W dV 2 1 ⋅= DE ∫∞ (2.24) 给出.由 = ρ f ⋅∇ D , E -∇= ϕ ,总静电能量也可由下式计算： W V V d 2 1 fϕρ ∫ = (2.25) 积分体积V 为电荷分布区域. 例 7．电荷 q 均匀分布于半径为 a 的球面,求总静电能量.(教材 P42,例 3) 【解】球面电荷密度为 .球对称电荷分布产生球对称电场.由高斯 定理可得 2 σ = /4πaq 3 0 4 q πε E = R R , R q 4 0 ε ϕ π = 当 ≥ aR ， a q 4 0 ε ϕ π E = 0 = 当 < aR 电荷只分布于球面,此处电势为常数ϕ = 4/q πε 0 a .故总静电能量为 a q S a S 0 2 2 8 4 2 1 d 2 1 ε σϕ σϕ π =π⋅= ∫ W = 或者,由于球内电场 E = 0 ,电场及其能量分布于球外空间,总静电能量 a q RR R q W VE V a 0 2 2 2 0 0 2 0 8 dd) 4 ( 2 1 d 2 1 πε Ω πε = ε = ε = ∫ ∫ ∫ ∞ 带电体的静电场总是与其电荷不可分离.因此带电粒子的静电场能量,属于粒子 的自能量.由质能关系 可知,带电粒子的静止质量 必定包含着电磁质量. 对于电子,经典理论中的一个假定是:它的电荷 2 = mcW m −e 分布于半径为a的球面,于是由 W = ecm / 8πε 0 a ,得出电子的“经典半径”: 22 e = m10~ 8π 15 2 e0 2 − = cm e a ε 但实验显示，直到 的尺度,电子仍然像“点粒子”.因此上述关于电子电荷 分布的假定,以及由此得出的所谓电子“经典半径”,根本不能反映电子内部的 真实结构. m10−18 8

外电场对电荷体系的作用能电荷在外电场中的静电势能，就是外场对电荷的静电作用能.设外场电势为Pe，则外电场对点电荷q的作用能为W,=q，对此式求负梯度，即给出外电场对电荷的作用力F=-VW,=qE。.若体积V内电荷密度为p(x)，外场对这带电体的静电作用能便为W, =J, p(x)9(x)dv(2.26)当电荷分布于小区域，可将外场电势β。(x)对坐标原点(选在V内)展开为泰勒级数，(2.26)便给出外场对电荷体系作用能的级数展开式+芬:vg.(0)..W,=qp(0)+.V.(0)+(2.27)6g(0)是外场在原点的电势.电荷体系的净电荷量q，电偶极矩p与四极矩の，由(2.16),(2.17)和(2.18)式计算.外电场对电偶极子的作用能、作用力和力矩分别为(2.28)W,=p.Voe=-p.E(2.29)F=-VW,=p.VE(2.30)L=pxE从(2.28)式看到，电矩矢量p与外场E。方向一致时，电偶极子的能量最低；(2.30)式表明，外场的力矩将使p朝E。的方向转动.(2.29)则表明，电偶极子将朝着场强最大的方向平动，若外场为均匀场，则F=0.外电场对电四极矩的作用能为-10:VE(2.31)W,=-"许多介质分子除了有电偶极矩，还有电四极矩；原子核也有一定的四极矩.因此它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量，例8电子在原子核电场中的势能【解】形变原子核会产生单极势β(0)和四极势β(2）.因此，电子在原子核电场中的势能一般为W; = -e(p(0) + p(2)若略去四极项能量，就有9

外电场对电荷体系的作用能 电荷在外电场中的静电势能,就是外场对电 荷的静电作用能.设外场电势为ϕ e ,则外电场对点电荷 q 的作用能为 = qW ϕ ei ,对 此式求负梯度,即给出外电场对电荷的作用力 F = −∇ i = qW Ee .若体积V 内电荷密 度为 ρ x)( ,外场对这带电体的静电作用能便为 ∫ = V Wi ϕρ e xx )d()( V (2.26) 当电荷分布于小区域,可将外场电势 )( ϕ e x 对坐标原点(选在V 内)展开为泰勒级 数,(2.26)便给出外场对电荷体系作用能的级数展开式 +∇∇+∇⋅+= L →→ (0) 6 1 (0) (0) ϕe ϕe ϕe qW p D : i (2.27) (0) ϕ e 是外场在原点的电势.电荷体系的净电荷量q ,电偶极矩 与四极矩 p Dij ,由 (2.16),(2.17)和(2.18)式计算.外电场对电偶极子的作用能、作用力和力矩分别为 i p e Ep e W = ⋅∇ϕ = − ⋅ (2.28) F i ∇Ep e = −∇W = ⋅ (2.29) = × EpL e (2.30) 从(2.28)式看到,电矩矢量 与外场 方向一致时,电偶极子的能量最低；(2.30) 式表明,外场的力矩将使 朝 的方向转动.(2.29)则表明,电偶极子将朝着场强 最大的方向平动,若外场为均匀场,则 p p Ee Ee F = 0 .外电场对电四极矩的作用能为 i e 6 1 ∇−= E →→ W D : (2.31) 许多介质分子除了有电偶极矩,还有电四极矩；原子核也有一定的四极矩.因此 它们在非均匀电场中有一定的四极矩能量. 例 8．电子在原子核电场中的势能. 【解】形变原子核会产生单极势 和四极势 .因此,电子在原子核电场 中的势能一般为 )0( ϕ )2( ϕ (W ) )2()0( i e +−= ϕϕ 若略去四极项能量,就有 9

W, *-ep(0)=-_Ze?4元60a其中Z为原子序数，a是电子离原子核的平均距离.量子力学对负势能的解释一一原子中的电子被束缚于“势阱”中。2.4静电场边值问题在有不同介质分布的情形，已知电荷的电场将使介质出现极化电荷分布，或使导体出现感应电荷分布，这些电荷反过来又激发电场，总电场是所有电荷的电场之叠加.但极化电荷和感应电荷的分布是未知的，因此一般情况下不可能由积分式(2.8)求出电势，必须根据给定介质的电磁性质和边界条件，求解电势或电场的微分方程，这就是静电场边值问题.寻找这类问题解答的依据是唯一性定理，即只有（1）满足各求解区域内电势或电场)的微分方程（2）并且满足相邻区域的边值关系，以及给定的边界条件的解，是唯一正确的解因此，寻找边值问题解答的前提，是必须根据具体物理问题找出全部定解条件，再根据这些条件采用恰当的数学方法求解，静电场方程和边值关系在每一种连续分布的介质内，静电场方程为(2.32)V.D=PiVxE=0若该区域内介质线性均匀，便有D=E；若该区域为真空,有D=6E；若该区域是导体则E=0.在两种介质的分界面上，边值关系一般地为(2.33)en(D,-D)=0r, e,×(E2-E,)=0由电位移矢量的定义D=80E+P，而一般情况下界面两边极化强度P的跃变关系为e(P2-P)=-p，故第一个边值关系与e(E2-E,)=(a+p)/e等价，,是界面的自由电荷面密度，α,是极化(束缚)电荷面密度.在绝缘介质的分界面上，一般有0f=0静电势方程和边值关系若区域V内介质线性均匀，即有D=sE，而E=-V，由场方程(2.32),此区域内的电势方程为=-/，（或=0，当=0）(2.34)10

a Ze e 0 2 )0( i 4 W ε ϕ π −=−≈ 其中 Z 为原子序数,a 是电子离原子核的平均距离.量子力学对负势能的解释— —原子中的电子被束缚于“势阱”中. 2.4 静电场边值问题 在有不同介质分布的情形,已知电荷的电场将使介质出现极化电荷分布,或 使导体出现感应电荷分布,这些电荷反过来又激发电场,总电场是所有电荷的电 场之叠加.但极化电荷和感应电荷的分布是未知的,因此一般情况下不可能由积 分式(2.8)求出电势,必须根据给定介质的电磁性质和边界条件,求解电势或电场 的微分方程,这就是静电场边值问题.寻找这类问题解答的依据是唯一性定理, 即只有 （1）满足各求解区域内电势(或电场)的微分方程 （2）并且满足相邻区域的边值关系,以及给定的边界条件 的解,是唯一正确的解.因此,寻找边值问题解答的前提,是必须根据具体物理问 题找出全部定解条件,再根据这些条件采用恰当的数学方法求解. 静电场方程和边值关系 在每一种连续分布的介质内,静电场方程为 = ρ f ⋅∇ D ， ∇× E = 0 (2.32) 若该区域内介质线性均匀,便有 D = εE ；若该区域为真空,有 = ε 0ED ；若该区域 是导体则 E = 0 .在两种介质的分界面上,边值关系一般地为 f12n −⋅ DDe )( = σ ， 0)( × − EEe 12n = (2.33) 由电位移矢量的定义 ε 0 += PED ，而一般情况下界面两边极化强度 的跃变关系 为 P 12n P PPe )( −=−⋅ σ ，故第一个边值关系与 0Pf12n ⋅ − EEe = σ +σ )/()( ε 等价,σ f 是界面 的自由电荷面密度,σ p 是极化(束缚)电荷面密度.在绝缘介质的分界面上,一般有 σ f = 0 . 静电势方程和边值关系 若区域 V 内介质线性均匀,即有 D = εE ,而 E −∇= ϕ , 由场方程(2.32),此区域内的电势方程为 f /ερϕ2 −=∇ , （或 ，当 0 2 ϕ =∇ ρ f = 0 ） (2.34) 10