石河子大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件）矢量分析、场论

电动力学Classical Electrodynamics数学准备郭志2014年8月石河子大学理学院物理系荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 电动力学 Classical Electrodynamics 数学准备 1

矢量分析矢量（函数）a=a()=a,(0)i +a,(0)i+a.(t)k;a=ya+a,+a?也可用矩阵形式书写-aXa.a(ax, ay, a.ora=aya.矢量（函数）求和axa+b=[ax±b,]+a,+b,i+[a.±b,k=(a,±bx, a,±by， a,±b.2014年8月郭志石河子大学理学院物理系荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量（函数） – 也可用矩阵形式书写 • 矢量（函数）求和 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ; x y z a ax ay az a = a t = a t i + a t j + a t k = + +       ( )           = = z y x x y z a a a a a a a or a   , ,       ( ) x x y y z z x x y y z z a b a b a b a b a b i a b j a b k =     =  +  +  , ,      x a az    a  y a 2

矢量分析b.·点乘a.b=(a，ay，α.)b,=acosb.大小asin axb=a,b+a,b,+a.b方向右手旋螺·差乘ikbjaxb=中axa.aab.b.bX=(a,b. -a.b,)i+(a.b,-a,b.))+(a,b,-a,b.)kaxb=-bxa2014年8月郭志石河子大学理学院物理系3荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 点乘 • 差乘 ( ) x x y y z z z y x x y z a b a b a b a b b b b a b a a a = + + =            = , , cos     (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z         = − + − + −  = a b b a      = −  a  b      方向右手旋螺 大小a b sin  a b      3

矢量分析·混合积 ·(a×b)-大小a×sin 0一等于a,6为邻边的平行六面体的面积一底面积axb=absinΦ-高cosQ=ccosQ一体积a·(6)b.(cxa)b一混合积的性质：ada.(bxa)=b.(cxa)=c.(axb)=-a.(cxb)=-b.(axa)=-c.(6xa)郭志2014年8月石河子大学理学院物理系荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 混合积 – 大小 – 等于 为邻边的平行六面体的面积 – 底面积 – 高 – 体积 或 – 混合积的性质： c (a b)      c a b sin       a b = absin    c cos = ccos  a b c    , , a  b  c    a (b c)      b (c a)      ( ) ( ) ( ) a (c b) b (a c) c (b a) a b c b c a c a b                   = −   = −   = −     =   =   4

矢量分析· (2) 矢积 cx(axb)一可用a和 线性表示（矢积在a构成的平面内）cx(axb)=(c.b)a-(c.a)bcx((c.a)bc6a(c.b)a2014年8月郭志石河子大学理学院物理系5荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • ⑵ 矢积 – 可用 和 线性表示（矢积在 ， 构成的平面内） c (a b)      a  b  b  a  c (a b) (c b)a (c a)b            =  −  a  b  c  (c a)b     (c b)a     c (a b)      5

量分析证明：ik5a.=(a,b. -a.b,)+(a.b,-a,b.)+(ab,-a,b,)kaxb=axayb.bx bykji =cx(axb)-CxCyC.a,b.-a.b,a.bx-ab.ab,-a,bx =[c,(ab,-a,b)-c.(a.b,-a,b.) =[a(b,c, +b.c.)-b,(a,c, +a.c.)[a.(bxx+byc, +b.c.)-b;(+a,c, +a.c.)=[a(6.a)-b(a.a)2014年8月郭志石河子大学理学院物理系6荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 证明： (a b a b )i (a b a b )j (a b a b )k b b b a a a i j k a b y z z y z x x z x y y x x y z x y z          = = − + − + − ( ) y z z y z x x z x y y x x y z a b a b a b a b a b a b c c c i j k f c a b − − − =   =         ( ) ( )  ( ) ( ) a ( b c b c ) b ( a c a c )i a (b c ) b (a c )i f c a b a b c a b a b i a b c b c b a c a c i x x x y y z z x x x y y z z x x x y x y y x z z x x z x y y z z x y y z z          = + + − + + =  −  = − − − = + − + b c a c 6

矢量分析·同样计算可得：j,=a,(6.c)-b,(a.c)J. = [a.(6.a)-b.(a.c)k三失量失积公式：F=J+J,+J=cx(axb)= (c.b)a-(c.a)b记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘然后再与第三矢量相乘后求和郭志2014年8月石河子大学理学院物理系7荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 同样计算可得： • 三矢量矢积公式： • 记忆规律：括号外的矢量与括号内的两矢量分别点乘然后再与第 三矢量相乘后求和. c (a b ) (c b)a (c a)b f f f f x y z              =   =  −  = + +  ( ) ( ) f a (b c ) b (a c )k f a b c b a c j z z z y y y             =  −  =  −  7

矢量分析矢量函数的极限和连续性a()=a,(t)i +a,(0)j+a.()klim u(t)a(t) = lim u(t) lim a(t)t-→tot-→tot-→tolim [a(t)±b(t)]= lim a(t)± lim b(t)t→>tot→>to1lim [a(t).b(t)]= lim a(t) lim b(t)t-→to→toIim [a(t)×b(t)= lim a(t)× lim b(t)t-→>tot→to2014年8月郭志石河子大学理学院物理系8荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的极限和连续性 ( ) ( ) ( ) ( )     lim  ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim (t) ( ) lim (t)lim ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t u a t u a t a t a t i a t j a t k t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t x y z                   → → → → → → → → → → → →  =   =   =  = = + + 8

矢量分析·矢量函数的导数、微分、积分a(t)= a, (t)i +a,(0)j +a. (t)kda(t)da,(t)da,():dadtdtdtdtda(t)= da, (t)i + da,(0)j + da. ()k[a(t)dt = fa.(t)dt + f a,(t)dt + fa. ()d一导失在该处的切线上，其方向为t增大的方向一导在几何上为一切向矢量。2014年8月郭志石河子大学理学院物理系C荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数、微分、积分 – 导矢在该处的切线上，其方向为t增大的方向 – 导矢在几何上为一切向矢量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = + + = + + = + + = + + a t t a t t a t t a t t a t a t i a t j a t k k t a t j t a t i t a t t a t a t a t i a t j a t k x y z x y z x y z x y z d d d d d d d d d d d d d d d d              9

矢量分析·矢量函数的导数公式dbdadcC=0, (c为常矢量)(1)6-+axdtdtdtdtdada dud, dbda(7)若a=a(u),而u=u(t),则有b18(2)dtdu dtdtd-dt如(5)的证明：dad(a.) = lim 4(a.b)(3)ka(k为常量)1-ddlaJimdt△tAt0duda10(4)ua(a + Aa) (6 + △b)- a. bulad-dtdt= lim△tNI-→0dbdaD16(5)10dbdba.Ab+Aa.b+Aa.Ab0dt16dtdt= limadtdt△tN0郭志2014年8月石河子大学理学院物理系10荣编写

2014年8月 石河子大学理学院物理系 郭志 荣 编写 矢量分析 • 矢量函数的导数公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a a t t a a u t u ua t k t a ka k t t t a a t c t c d db b d d b d d (5) d d d d d d (4) d d d d (3) d db d d b d d (2) 0, d d (1)                   =  +  = + =  = + = 为常量 为常矢量 ( ) t u u a t a a a u u u t t a t a a t d d d d d d (7) ( ), ( ) d db b d d b d d (6)           = = =  =  +  若 而 ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) b t b t b a t a b a b a b t a a b b a b t a b t a b t t t                     =  +    +   +   =  +   +  −  =    =   →  →  → d d d d lim lim lim d d (5) 0 0 0 如 的证明： 10