《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 弯曲内力 Internal forces in beams §4-5 按叠加原理作弯矩图.（Drawing bending-moment diagram by superposition method）

弯曲内力(Internalforces in beams)S4-5按叠加原理作弯矩图Drawingbending-momentdiagrambysuperposition method)一、叠加原理（Superpositionprinciple)多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和F(F,F,...,F)=F(F)+Fs((F)+...+F(F))M(F,F,..,F,)= M(F)+ M(F)+... + M(F,)二、适用条件（Applicationcondition）所求参数（内力、应力、位移）与荷载满足线性关系.即在弹性限度内并满足胡克定律时适用

1 (Internal forces in beams) §4-5 按叠加原理作弯矩图 (Drawing bending-moment diagram by superposition method) 一、叠加原理 (Superposition principle) 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独 作用于结构而引起的内力的代数和. 二、适用条件 (Application condition) 所求参数（内力、应力、位移）与荷载满足线性关系. 即在 弹性限度内并满足胡克定律时适用. ( ) ( ) ( ) ( ) F F ,F , ,F = F F + F ( F + + F F S 1 2 n S 1 S 2 S n M F F F M F M F M F ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2  = + +  + n n

弯曲内力nternal forces in beams三、步骤(Procedure)（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图：2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼）例16悬臂梁受集中荷载F和均布荷载g共同作用，试按叠加原理作此梁的弯矩图F=ql/3q2

2 (Internal forces in beams) 三、步骤 (Procedure) （1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图; （2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑） 例16 悬臂梁受集中荷载F 和均布荷载 q 共同作用, 试按叠加 原理作此梁的弯矩图. x F=ql/3 q l

弯曲内力(nternal forces in beams解：悬臂梁受集中荷载F和均布荷载9共同作用在距左端为x的任一横截面上的弯矩为F=q1/3qM(x) = Fx _ qx2xF单独作用月 MF(x)=FxM,(x) = _qxFq单独作用2F,g作用该截面上的弯矩等于F,g单独作q用该截面上的弯矩的代数和gxM(x) = Fx -2

3 (Internal forces in beams) x F=ql/3 q l 解: 悬臂梁受集中荷载F 和均布荷载q 共同作用， 在距左端为x 的任一横截面上的弯矩为 2 ( ) 2 qx M x = Fx − F x q x F 单独作用 MF (x) = Fx q单独作用 2 ( ) 2 qx Mq x = − F, q 作用该截面上的弯矩等于F, q 单独作 用该截面上的弯矩的代数和 2 ( ) 2 qx M x = Fx −

弯曲内力nternal forces in beamsqXMF(x)= FxFl+F21/3M,(x) =_qx812q1/3一

4 (Internal forces in beams) F x F q x l q x + MF (x) = FxFl2 ( ) 2 qx Mq x = − 2 2 ql + - 6 2 ql 2l/3 l/3 6 2 ql 81 2 ql

弯曲内力(nternal forces in beams例题17图示一外伸梁，a=425mm，FiFLBACF、F,、F分别为685kN,575kNDE506kN.试按叠加原理作此梁的弯矩图求梁的最大弯矩解：将梁上荷载分开FF122da6b2FCaCb20291215

5 (Internal forces in beams) 例题17 图示一外伸梁，a = 425mm , F1、 F2 、 F3 分别为 685 kN, 575 kN, 506 kN. 试按叠加原理作此梁的弯矩图, 求梁的最大弯矩. C B F2 F3 a D E F1 A a a a 解：将梁上荷载分开 F1 291 d a c b e F2 e 122 + d a c b 215 d a c b e F3 a a a a

弯曲内力nternal forces in beamsF2dbaeCF3F一BCAEDP291aaaa122bdcaebdcea131215dbca291215-291)+122+-215)=-131kN·mMc2

6 (Internal forces in beams) 291 d a c b e 215 131kN m 2 1 291 122 2 1 MC = ( − ) + + ( − ) = −  C B F2 F3 a D E F1 A a a a 122 + d a c b e 215 d a c b e 291 215 131 d a c b e

q解：①写出内力方程M(x)Q(x)= -qxQ(x)xM(x) =-qx2Q(x)x②根据方程画内力图qLqL?2xM(x)

解：①写出内力方程 ②根据方程画内力图 Q( x ) = −qx 2 2 1 M( x ) = − qx L q M(x) x Q(x) Q(x) x M(x) x – qL 2 2 qL − ⊕ ○

qo解：①求支反力L%L%LRARRRB36Q(x)90L②内力方程06xQ(x)=最(β-3xr)9oL23M(t)=器(-x)-+x③根据方程画内力图V3qoLM(x)27

( 3 ) 6 0 2 2 L x L q Q( x ) = − 解：①求支反力 ②内力方程 3 ; 6 0 q0 L R q L RA = B = q0 RA ③根据方程画内力图 RB L ( L x ) L q x M x 0 2 2 6 ( ) = − x L 3 3 Q(x) x 6 2 q0 L 3 2 q0 L 27 3 2 M(x) q0 L ⊕ ⊕ ○

一悬臂梁AB（图例4-24-12a），右端固定，左端受集中(a)力P作用。作此梁的剪力图和弯矩图。(6)（1）列剪力方程和弯矩方程ZY=0,-Q-P=0Q得Q=-Pa(c)由EM, = 0,Px + M = 0得M =-PxM(d)（2）画剪力图和弯矩图

（1）列剪力方程和弯矩方程 M Px M Px M Q P Y Q P = −  = + = = −  = − − = 得 由 得 0 0 0 0 0 , , （2）画剪力图和弯矩图

例4-4图4-14a所示为一简支梁，在C点受集中力P的作用，作此梁的剪力图和弯矩图。(1)求支座反力ZY=0,ZM =0PbPaRR(2)列剪力方程和弯矩方程PbAC段:Q=+R(0<x<a)1PbM =+Rx(0≤x≤a)t1

例4-4 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用， 作此梁的剪力图和弯矩图。 (1) 求支座反力 Y = 0, MA = 0 l Pa R l Pb RA = , B = (2) 列剪力方程和弯矩方程 AC段: l Pb Q1 = +RA = (0 < x < a) x l Pb M1 = +RA x = (0  x  a)