《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams（知识2）梁的挠曲线近似微分方程及其积分

弯曲变形$6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程1M.(x)EIpxCHM>0小变形1f"(x)f"(x)0f式（2）就是挠曲线近似微分方程

§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 z z EI 1 M (x) =  一、挠曲线近似微分方程 z z EI M x f x ( )  ( ) =  式（2）就是挠曲线近似微分方程。 EI M x f x ( )   ( ) = − . （2） ( ) (1 ) 1 ( ) 2 3 2 f x f f x    +   =   小变形 f x M>0 f (x)  0 f x M<0 f (x)  0

弯曲变形对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式EIf"(x) =-M()一、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分EIf(x) = [(-M(x)dx + CEIf"(x)=-M(x)EIf(x) = [(J(-M(x)dx)dx +Cpx+C22.位移边界条件BCDa3

EIf (x) = −M (x) 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIf (x) = −M (x) d 1 EIf (x) = (−M (x)) x +C  d 1 2 EIf (x) = ( (−M (x))dx) x +C x +C   1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A C B P D

弯曲变形0支点位移条件：fD=0 0。-0fA-0 fB-0或写成f差一fc存②连续条件：f-- f0_=0c或写成0c年 =0cg③光滑条件：讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；：缺点：计算较繁

讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： f A = 0 f B = 0 f D = 0  D = 0 − = + C C f f − = + C C   或写成 左 右 C C  = 或写成 左 右 C C f = f

弯曲变形例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角解:Lx①建立坐标系并写出弯矩方程M(x)= P(x- L)f③应用位移边界条件求积分常数写出微分方程的积分并积分2EIf"=-M(x)= P(L-x)EIf(O)- PL +C, =06Elf"--↓ P(L--) +C.EI0(0) - EIf(0)=-I PL +C -02aC-P;C,---PLElf -→ P(L-x) +Cx+C,6

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = P(x − L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIf  = −M (x) = P(L − x) 1 2 ( ) 2 1 EIf  = − P L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIf = P L − x +C x +C 0 6 1 (0) 2 3 EIf = PL +C = 0 2 1 (0) (0) 1 2 EI = EIf  = − PL +C = 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = PL C = − PL 解： P L x f

弯曲变形x④写出弹性曲线方程并画出曲线[L-x) +3Lx-Lf(x)=6EI最大度及最大转角5PLPLfmax = f(L)0mx = 0(L)max2EI3EI

写出弹性曲线方程并画出曲线   3 2 3 ( ) 3 6 ( ) L x L x L EI P f x = − + − EI PL f f L 3 ( ) 3 max = = EI PL L 2 ( ) 2  max = = 最大挠度及最大转角 x f P L

弯曲变形解：0建立坐标系并写出弯矩方程aP(x-a)(0<x≤a)M(x)=10x(a≤x≤L)LIf写出微分方程的积分并积分P(a-x)(0<x≤a)Elf"0(a≤x≤L)[/ P(a-x) +Cx+C,- P(α-x)*+CEIf =36EIf'一2D)D,x + D2

解：建立坐标系并写出弯矩方程      −   = 0 ( ) ( ) (0 ) ( ) a x L P x a x a M x 写出微分方程的积分并积分      − − +  = 1 1 2 ( ) 2 1 D P a x C EIf      + − + + = 1 2 1 2 3 ( ) 6 1 D x D P a x C x C EIf      −    = 0 ( ) ( ) (0 ) a x L P a x x a EIf x f P L a

弯曲变形应用位移边界条件求积分常数2aPElf(0)=- Pa +C, - 06XLPa2 +C -0EI0(O)二20(a)=0(at):.C =Df(a )= f(at).. C,a + C, = Da+ D,..C - D - Pa :C, - D, --↓ Pd26

应用位移边界条件求积分常数 0 6 1 (0) 2 3 EIf = Pa +C = 0 2 1 (0) 1 2 EI = − Pa +C = 3 2 2 2 1 1 6 1 ; 2 1 C = D = Pa C = D = − Pa ( ) ( ) − + f a = f a ( ) ( ) − +  a = a C1 = D1 C1 a +C2 = D1 a + D2 P L a x f

弯曲变形写出弹性曲线方程并画出曲线4[gla-0+3i-1 0*5)f(x) -[ bor-a](a<x≤L)最大挠度及最大转角Pa?0 = 0(a)-Xmax2EIPa7[3L -a]fmx = f(L)6EIA

写出弹性曲线方程并画出曲线            −   − + −   = 3 (a ) 6 ( ) 3 (0 ) 6 ( ) 2 3 3 2 3 a x a x L EI P a x a x a x a EI P f x  L a EI Pa f = f L = 3 − 6 ( ) 2 max EI Pa a 2 ( ) 2  max = = 最大挠度及最大转角 P L a x f