温州职业技术学院：《高等应用数学》第四章 微分方程（4.2）可分离变量的微分方程

4.2可分离变量的微分方程 案例 ■二、概念和公式的引坐 三、进一步的练习 园、实训 click Here

4.2 可分离变量的微分方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训

案例1[人口问题] 英国学者马尔萨斯( Malthus,1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数,即如果设l刻的人口 数为x0),则人口增长速度a与人口总量x(0 成正比,从而建立了 Malthus人口模型 dx dt 其中a>0 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页越回

一、案例 1 [人口问题 ] 成正比，从而建立了Malthus人口模型。 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t)

↓二、概念及公式的引出 形如 d dx f(x)·g(y) 的方程称为可分离变量的微分方程,其特点是方程的 右端是只含x的函数x)与只含y的函数g(y)的乘积 可分离变量的微分方程通过分离变量为 g(dy=f(rdx 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的 右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积． 形如： (1) 可分离变量的微分方程通过分离变量为 (2) 二、概念及公式的引出

的形式,即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端 只含x的函数和dx将上式两端积分,得 g(y)d f(x)dxo 设G(),F(x)分别为g()x)原函数,则得微分方程 d dx f(x)·g()的通解为 G(y)=F(x)+C。 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端 只含x的函数和dx,将上式两端积分，得 设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)原函数，则得微分方程 G(y)=F(x)+C 。 的通解为：

三、进一步的练习 练习1[国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值(GDP)为80423亿元, 如果我国能保持每年8%的相对增长率,问到2010年我 国的GDP是多少? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上下回

三、进一步的练习 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？ 练习1 [国民生产总值]

解(1)建立微分方程 记=0代表1999年,并设第年我国的GDP为P().由 题意知,从1999年起,P(的相对增长率为8%,即 dP(t) =8% P(t) 得微分方程 dP(t) 8%P(t),且P(0)=80423 dt 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

d ( ) d 8% ( ) P t t P t = 解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即 得微分方程

(2)求通解 分离变量得 dP(t) 8%dt, P(t) 方程两边同时积分,得 lnP(t)=0.08+C, 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页

（2）求通解 分离变量得 方程两边同时积分，得

(3)求特解 将p(0)=80423代入通解,得C-80423,所以从1999 年起第我国的GDP为 P(t)=80423e00 将=2010-1999=11代入上式,得2010年我国的 GDP的预测值为 P(11)=80423e03193891.787(亿元) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

（3）求特解 将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999 年起第t年我国的GDP为 将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的 GDP的预测值为

s练习2[落体问题] 设跳伞运动员从跳伞塔下落后,所受空气的阻力与 速度成正比.运动员离塔时(≠=0)的速度为零 求运动员下落过程中速度与时间的函数关系 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

练习2 [落体问题] 求运动员下落过程中速度与时间的函数关系． 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与 速度成正比．运动员离塔时（t=0）的速度为零

解(1)建立微分方程 运动员在下落过程中,同时受到重力和空气阻力的影 响.重力的大小为mg,方向与速度的方向一致;阻力 的大小为kv(k为比例系数),方向与相反.从而运动员 所受的外力为 F=mg - kv 高等应用数学CAⅠ电子教案 上下回

运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影 响．重力的大小为mg，方向与速度v的方向一致；阻力 的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反．从而运动员 所受的外力为 解（1）建立微分方程