温州职业技术学院：《高等应用数学》第五章（5.2）周期不为2π的周期函数展开成傅里叶级数

5.2周期不为2的周期函数展开成傅里叶级数 5.2.1周期延拓 ■5.2.2周期为2l的周期函数展开成傅里叶 级数 ■5.2.3几个常见脉冲信号的傅里叶级数 click Here

5.2.1 周期延拓 5.2.2 周期为2l的周期函数展开成傅里叶 级数 5.2.3 几个常见脉冲信号的傅里叶级数 5.2 周期不为 2 的周期函数展开成傅里叶级数

5.2.1周期延拓 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here

5.2.1 周期延拓 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

一、案例[单脉冲信号的傅里叶级数展开] 已知一脉冲矩形波信号为 丌<x<0 f(x)= 1.0<x<丌 将它展开成傅里叶级数。 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例 [单脉冲信号的傅里叶级数展开] 已知一脉冲矩形波信号为 将它展开成傅里叶级数。      −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) －

二、概念和公式的引出 周期延拓设函数(在[上有定义,并且在 -丌,π上满足收敛定理的条件,那么,我们可以在函数 定义区间外补充f(x)的定义,使它拓展成以2x为周期 的函数F(x),按这种方式拓展函数定义域的过程称为 周期延拓。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

二、 概念和公式的引出 周期延拓 设函数f (x)在 [− , ] 上有定义，并且在 [− , ] 上满足收敛定理的条件，那么，我们可以在函数 定义区间外补充f (x)的定义，使它拓展成以 2 为周期 的函数F (x) ，按这种方式拓展函数定义域的过程称为 周期延拓

]三、进一步的练习 练习1[单脉冲信号的傅里叶级数展开式 有一定义在[-,z]的单脉冲信号函数f(x)=x2 如下图所示,将它展开成傅里叶级数。 f(r) 3T 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

三、进一步的练习 练习1 [单脉冲信号的傅里叶级数展开式] 如下图所示，将它展开成傅里叶级数。 有一定义在 2 [−, ] 的单脉冲信号函数 f (x) = x

解将∫(x)作周期延拓,延拓后为偶函数,则 bn=0(n=1,2,3… 2—π2 (x) 2 Soda 2丌 丌(3 F(x)cos ndx x cos nxdx=-(xsin nx xsin ndr) 4 (x cos nx) cos ndx nn Jo 4—n (-1)(n=1,2,3,… 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

解 将f (x)作周期延拓，延拓后为偶函数，则 b = 0 (n =1,2,3, ) n 0 0 2 a f x x ( )d   =  a F x nx x n ( ) cos d 2 0 =   ( sin 2 sin d ) 2 cos d 2 0 0 2 0 2 x nx x nx x n x nx x   = = −      2 2 0 0 4 4 ( cos ) cos d x nx nx x n n     = −  (n =1,2,3, ) 2 4 ( 1)n n = − 2 2 3  = 2 0 2 x xd   =  3 0 2 3 x     =    

延拓后,处处连续,所以 2兀4Cosx cos 2x coS 3x 其中(-x≤x≤丌) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

延拓后，处处连续，所以 ) 3 cos3 2 cos 2 4(cos 3 2 2 2 2 = − − + − x x x x  其中 (−  x  )

5.2.2周期为2/的周期函数畏开成傅里叶级数 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here

5.2.2 周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

一、案例[周期为4的函数展开成傅里叶级数] 设脉冲信号函数f(x)是周期为4的周期函数 它在一个周期的表达式为 2<x<0 f(x) 0<x<2 如何将f(x)展开成傅里叶级数? 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

一、案例 [周期为4的函数展开成傅里叶级数] 设脉冲信号函数f (x)是周期为4的周期函数， 它在一个周期的表达式为      −   = , 0 2 0, 2 0 ( ) k x x f x 如何将f (x)展开成傅里叶级数？

二、概念和公式的引出 周期为2的函数的傅里叶级数展开与其 系数的计算公式如下 f(x)=+∑( a COS +6 sin nar k=1 nI f(x)cos dx(n=0,1,2,…) 其中 f(x)sin dx(n=1,2,…) 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

二、 概念和公式的引出 周期为2l的函数的傅里叶级数展开与其   = = + + 1 0 ( cos sin ), 2 ( ) k n n l n x b l n x a a f x          = = = =   − − l l n l l n x n l n x f x l b x n l n x f x l a ( )sin d ( 1,2, ) 1 ( ) cos d ( 0,1,2, ), 1     其中 系数的计算公式如下：