温州职业技术学院：《高等应用数学》第五章（5.1）周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数

内容简介 自然界的许多现象都具有周期性,如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等

本课件由王科设计、开发 自然界的许多现象都具有周期性，如心脏 的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的 电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形 波和三角波以及由空气的周期性振动产生的 声波等等。 内容简介

5.1周期为2的周期函数畏开成傅里叶级数 一、案例 ■二、概念和公式的引坐 ■三、进一步的练习 click Here

5.1 周期为 2 的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习

、案例[矩形波的叠加] 周期函数可表示为f(T+)=f(),T为函数 F()的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 f(x)=Asin( wt+o) 其中A为振幅,w为角频率,为初相。 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

本课件由王科设计、开发 一、案例 [矩形波的叠加] 周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 f (x) = Asin( wt +) 其中A为振幅， w 为角频率，  为初相

电子技术中常用的周期的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成,如下图所示 0.8 0.4 放 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示：

、概念和公式的引出 角级数由正弦或余弦函数组成的无限多项的和 称为三角级数。它的一般形式为 do+2(an cos nx+bn sin nx) 其中a02an2bn(n=1,2,…)为常数 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 二、 概念和公式的引出 三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k an nx bn nx a f x 其中 , , ( 1,2, ) a0 an bn n =  为常数

博里叶级数设/(x是周期为z的周期函数,如果 f(x)cos ndx (n=0, 1, 2, 3, . . b,=. f(x)sin ndx (n=1,2,3, 存在,则称它们为函数f(x)的傅里叶系数,由傅 里叶系数组成的三角级数 f(x)=0+2(a, cos nx +b, sin nx) k=1 称为傅里叶级数。 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 傅里叶级数 存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅 里叶系数组成的三角级数 设f (x)是周期为 2 的周期函数，如果 a f x nx x n ( ) cos d 1 − =    (n = 0,1,2,3, ) b f x nx x n ( )sin d 1 − =    (n =1,2,3, )   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k an nx bn nx a f x 称为傅里叶级数

收敛定理(狄利克雷充分条件)若周期为2z 的周期函数f(x)满足条件 (1)在区间[-x,x]连续或只有有限个第一类间断点; (2)在区间[-x,x]只有有限极值点 则函数f(x)的傅里叶级数收敛,且 (1)当是连续点时,级数收敛于f(x) (2)当是间断点时,级数收敛于少(x=0)+f(x+0) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 收敛定理 的周期函数f (x)满足条件 （狄利克雷充分条件） 若周期为 2 （1）在区间 [−, ] 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间 [−, ] 只有有限极值点， 则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ； （2）当是间断点时，级数收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0)

]三、进一步的练习 练习1[脉冲矩行波 脉冲矩形波的信号函数f(x)是以2x为周期 的周期函数,它在[-x,x]的表达式为 1-丌<x<0 f(x)= f(x) 1,0≤x<丌 如右图所示,求此函数的 -2O 2T x 傅里叶级数展开式。 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 三、进一步的练习 练习1 [脉冲矩行波] 如右图所示，求此函数的 脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 2 为周期 的周期函数，它在 [−, ] 的表达式为      − −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 傅里叶级数展开式

解用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下 因为函数f(x)是奇函数,所以(x) cosnx是奇函数 因此f(x) cosnx(-丌,n)上积分为零.于是 0(n=1,2,… b n f(x)sin ndx sin nxd I Jo cos nX 丌(n 02(1-COSn) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发 解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下: 因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数， 因此f (x) cosnx （− ,） 上积分为零．于是 an = 0 （n =1,2, ） 0 2 ( )sin d n b f x nx x   =   =   0 sin d 2 nx x   0 cos 2 1       = − nx n (1 cos ) 2   n n = −

4 n=1.3.5 -(-1)”]= n=24.6 于是,函数f(x)的傅立叶级数展开式为 f(x)=-[snx+=sn3x+-sn5x+…+,sn(2n-1)x+…] 2 由收敛定理知函数f(x)在 (-∞0<x<+∞2x≠k丌,k=0,+1,+2 范围内与级数相等即 f(x)=-[sin x+sin 3x+sin 5x+...+ sin( 2n x 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

本课件由王科设计、开发   2,4,6 1,3,5 0 4 [1 ( 1) ] 2 = =     = − − = n n n n n   于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为 sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 ( )  − + − = + + + + n x n f x x x x  由收敛定理知函数f (x)在 (−  x  +, x  k, k = 0,1,2) 范围内与级数相等,即 sin( 2 1) ] 2 1 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 [sin 4 ( )  − + − = + + + + n x n f x x x x 