温州职业技术学院：《高等应用数学》第三章 积分与定积分（3.3）积分方法

3.3积分方法 ■3.3.1换元法 ■3.3.2分部积分法 click Here

3.3 积分方法 3.3.1 换元法 3.3.2 分部积分法

3.3.1换元积分法 一、案例 ■二、概念和公式的引出 click Here

3.3.1 换元积分法 一、案例 二、概念和公式的引出

一、案例[石油消耗量] 近年来,世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长, 增长指数大约为0.07.1970年初,消耗量大约为161 亿桶.设R()表示从1970年起第的石油消耗率 已知 R()=16e07(亿桶) 试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

一、案例 [石油消耗量] 近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长， 增长指数大约为0.07．1970年初，消耗量大约为161 亿桶．设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率， 已知 试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总 量． ( ) t R t e 0.07 =161 （亿桶）

解设(4)表示从1970年(0)起到第年石油消耗的 总量.T()就是石油消耗率R(),即T()=R(),于是 由变化率求总改变量,得 7(20)-T(0)=m7(x=R(O=16md 在基本积分公式中,只有积分公式「edt=e+C 如果将160d的积分凑成d007,则有 161e 0.07 dt. 007161e01d0.07t 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

解 设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的 总量. T ’ (t)就是石油消耗率R(t)，即T ’ (t) =R(t) ，于是 由变化率求总改变量，得 20 0 T T T t t (20) (0) ( )d − =   20 0 = R t t ( )d  20 0.07 0 161 dt = e t  在基本积分公式中，只有积分公式 d t t e t e C = +  如果将 20 0.07 0 161 dt e t  的积分凑成d0.07t，则有 20 20 0.07 0.07 0 0 1 161 d 161 d0.07 0.07 t t e t e t   ＝

0.07t=u 令0071=,积分变为 t:0→→20 U:0→→14 161c14 16le.dt- e du 0 0.070 这时,用公式∫e=e+C,得 16161c200d0071-0070cdz 20 161 u 0.070 161 007(e")b4=230(el )7027/(桶) 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

d t t e t e C = + 这时，用公式  ，得 令 0.07t u = ,积分变为 20 0.07 0 161 dt e t  20 0.07 0 161 d0.07 0.07 t = e t  1.4 0 161 d 0.07 u = e u  1.4 0 161 ( ) 0.07 u = = e 1.4 2300( 1) 7027 e −  (桶) 20 1.4 0.07 0 0 161 161 d d 0.07 t u e t e u   ＝ 0.07t=u t:0→20 u:0→1.4

、概念和公式的引出 不定积分的换元法 设∫(0=F()+C,=o(x)可导,则 ∫/o()(x知x=F(x)+C 对上式积分结果求导,有 {F[o(x)+C}=F(u)g(x)=F[(x)(x)=/o(x)o(x) 成立 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

二、概念和公式的引出 对上式积分结果求导，有 不定积分的换元法 设 f u u F u C ( )d ( ) = +  ，u = (x) 可导，则 f  (x) (x) x =F (x)+C    d  F(x) C = F(u)(x) = F(x)(x) = f (x)(x)  + 成立

换元法求不定积分的一般步骤如下 恒等变形 I g(x)dx JrLo(x)]. o'(x)dx=lo(x)]do(x) 换元 积分 回代 l=(x) ∫/()n==F()+C==F( 利用换元法时,要把被积表达式分解出p(x)dr 并凑成微分do(x),因此这种方法也称为凑微分法 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

换元法求不定积分的一般步骤如下： ( ) ( ) 恒等变形 g x x f x x x f x x ( )d d [ ( )]d ( ) ====  =             f (u) u F(u) C F (x) C u x u x ==== ==== + ==== + = =     换 元 积 分 回 代 ( ) ( ) d 利用换元法时，要把被积表达式分解出 ( x x )d ， 并凑成微分 d ( )  x ，因此这种方法也称为凑微分法．

定积分的换元法 设函数f(x)在区间a,b上连续,若 (1)函数x=o(在区间a,上单调且有连续导数 (2)当在区间[,月上变化时,对应的函数x=9() 在区间[ab上变化,且o(a)=a,()=b 则有定积分的换元公式 f(x.女=( 注意:在应用定积分的换元法时,积分上下限要 进行相应地变换 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

定积分的换元法 设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，若 f (x)dx f (t) (t)dt b a  =       (1) 函数 x =(t) 在区间 ,   上单调且有连续导数； (2) 当t在区间 ,   上变化时，对应的函数 x =(t) 则有定积分的换元公式 在区间 [a,b]上变化，且 (a) = a ， ( ) = b ， 注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要 进行相应地变换．

、进一步的练习 练习1[质子的速度] 电场中质子运动的 加速度为a=-201+2)2(单位:m/s2).如果 =0时,=0.3m/s.求质子的运动速度 解由加速度和速度的关系v()=a(),有 v()=Ja()d=201+2)2dt 凑微分 20(1+21)2·d(1+2 高等应用数学CAⅠ电子教案 产页下页回

t=0时，v=0.3m/s．求质子的运动速度． 三、进一步的练习 2 20(1 2 ) − a = − + t (单位：m／s 2 加速度为 )．如果 解 由加速度和速度的关系 v (t) = a(t) ，有 练习1 [质子的速度] 一电场中质子运动的 2 v t a t t t t ( ) ( )d 20(1 2 ) d − = = − +  2 1 20(1 2 ) d(1 2 ) 2 t t − = − +  +  凑微分

u+ 令=1+2t,得 v(t)=-10n2dn=10n2+C 当≠=0,即=1时,=0.3代入上式得C=9,7 再将v=1+2t,代入上式,得 v()=101+2)-9.7 高等应用数学CAⅠ电子教案 上页下页迅回

令u=1+2t，得 2 1 v t u u u C ( ) 10 d 10 − − = − = +  2 1 u du u C − − = − +  当t=0，即u=1时，v=0.3代入上式得C=-9.7 再将u=1+2t，代入上式，得 1 v t t ( ) 10(1 2 ) 9.7 − = + −