河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分（10.7）斯托克斯（Stokes）公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 邮第七节斯托克斯StoK ⊙斯托克斯( Stokes)公式 简单应用 环流量与旋度 小结 Http://www.heut.edu.cn

第七节 斯托克斯（Stokes）公式 斯托克斯（Stokes）公式 小结 简单应用 环流量与旋度

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 斯托克斯( stokes)公式 理↓设为分段光滑的空间有向闭曲线是以 T为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲醇在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 az Didao aP aP aR ay a )dydz+ )dxdy ax a ∑ Pdx +ody+ rdz 斯托克斯公式 Http://www.heut.edu.cn

设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 定理 一、斯托克斯(stokes)公式

高数课程妥媒血课件 理工大学理原 右手法则 r是有向曲面∑的 正向边界曲线 证明如图 设∑与平行于z轴的直线 ∑x=f(x,y) 相交不多于一点,并∑取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线r在xOy的投 影且所围区域Dx Http://www.heut.edu.cn

n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则 x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n 证明  设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的 投 影.且所围区域Dxy . 如图

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 思路 曲面积分二重积分额曲线积分 aP aP aP aP xdi ∫(cos8-,eosy)t 又:cosβ=-f,c0s",代入上式得 aP P apaP dd-,=-(,+2J)cos z Http://www.heut.edu.cn

思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 ds yP zP dxdy yP dzdx zP ( cos  cos )  −  =  −      又 cos = − f y cos , 代入上式得f ds zP yP dxdy yP dzdx zP y ( )cos  +  = −  −     

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> aP aP oP aP d小y= +ef dxdy ∑ a y a apaP P[x,y,f(x,y)=+·f1 少O coP aP dzdx ∑ -o. PLx,v,f(, D)dxdy,i Http://www.heut.edu.cn

f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] 1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 根椐格林公式 2ya,川1x,n,f(x,川=「P1x,y,fx,yh aP P Azdx-odxdy= Plx, y,f(x, y)k ∑ 0Z ay 平面有向曲线 aP aP dzdx- dxdy=+P(x,y, z xx, 空间有向曲线 Http://www.heut.edu.cn

  =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 根椐格林公式 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 同理可证 80 「Q(x,x, ∑ OR aR dydz-odzdx=A R(x, y, z ) dz, ax OR 00 OP aR dQ aP )aid + )dxdy oz ax ox a ∑ ay az =「Pk+Q+R.故有结论成立 Http://www.heut.edu.cn

dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   同理可证 dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 便于记忆形式 ∑ a e o Pde+@dy+Rdz R 另一种形式 cos a cOS B coS 000 ds=o Pdx+ody+Rdz P 2 R 其中n={cosa,cosB,oy} tt p : // h

   = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式 n = {cos,cos  ,cos }  其中 便于记忆形式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式特殊情形格林公式 Http://www.heut.edu.cn

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 (当Σ是xoy面的平面闭区域时)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、简单应用 例1计算曲线积分x+xd+yz UT 其中厂是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则 解按斯托克斯公式,有 dr u T aay t ydz ∫dz+tdx+h Http://www.heut.edu.cn

例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中 是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 0 Dxy x y z n 1 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy 二、简单应用