河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十一章 无穷级数（11.1）常数项级数的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理隙>> 第十一章无穷级数 ◎常数项级数的概念和性质 常数项级数的审敛法 幂级数 函数展开成幂级数 ◎函数幂级数展开式的应用 傅立叶级数 正弦级数和余弦级数 問期为2的周期函数的傅立叶级数 Http://www.heut.edu.cn

第十一章 无穷级数 常数项级数的概念和性质 常数项级数的审敛法 幂级数 函数展开成幂级数 函数幂级数展开式的应用 傅立叶级数 正弦级数和余弦级数 周期为2l的周期函数的傅立叶级数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第一节常数项级数的概 问题的提出 级数的概念 ⊙级数的基本性质 级数收敛的必要条件 小结 Http://www.heut.edu.cn

第一节 常数项级数的概念 小结 级数的概念 级数的基本性质 问题的提出 级数收敛的必要条件

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 1.计算圆的面积 R 正六边形的面积a1 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积a1+a2+…+a 即A≈a1+a2+…+an 33 3 3 2.==0.3=-+ 3 101001000 10 Http://www.heut.edu.cn

1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a a1 + a2 正 形的面积 n 32 a1 + a2 ++ an 即 A  a1 + a2 ++ an = = + + ++ + • n 10 3 1000 3 100 3 10 3 0.3 3 1 2. 一、问题的提出

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 级数的定义 级 一般项 ∑ Ln=L1+L+Lx+…+Ln+ n (常数项)无穷级数 级数的部分和 =1+L2+…+ ∑ 部分和数列 S1=W1,S2=l1+l2,S3=L1+2+3,… Sn=l1+l2+…+Ln Http://www.heut.edu.cn

1定义：级数  = + + ++ +  = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2  级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3  sn = u1 + u2 ++ un ,  二、级数的定义

高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 定义级数的收敛与发散: 当n无限增大时如果级数∑un的部分和 H-=1 数列sn有极限S,即 lim s=S则称无穷级数 n→0 ∑un收敛,这时极限叫做级数∑un的和并 n=1 n=1 写成S=L1+l2+…+3+ 如果没有极限则称无穷级数∑un发散 n=1 Http://www.heut.edu.cn

级数的收敛与发散: 当n 无限增大时,如果级数  n=1 un 的部分和 数列 n s 有极限s , 即 s s n n = → lim 则称无穷级数   n=1 un 收 敛,这时极限s 叫做级数  n=1 un 的 和.并 写成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数  n=1 un 发散. 定义2：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 即常数项级数收敛(发散)lims,存在(不存在) n→0 余项 S-s=u n n+1+L n+2 +…=∑ n+L 即S≈S误差为rn(imrn=0 n→0 无穷级数收敛性举例Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花” Http://www.heut.edu.cn

即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = un+1 + un+2 +   = = + i 1 un i 即 s s n  误差为 n r (lim = 0) → n n r 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 无穷级数收敛性举例Koch雪花

高数课程妥媒血课件 理工大理擘原>> 观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3, 面积为As√3 第一次分叉: 周长为P2=P, 面积为A2=A1+3·0·4;依次类推 Http://www.heut.edu.cn

观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = +   = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 播放

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第次分叉: 周长为P n 面积为 An=An1+3{4"()41B A+3·041+34·(G)41+…+342 n-1 9 =A1{1+[+ )+()2+…+(a n-2 } 33939 39 n=2,3 Http://www.heut.edu.cn

) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = +  +   ++   n = 2,3,  周长为 面积为 ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A  第 n 次分叉：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 于是有 lim p=oo 1 lmA,=A+14)=4+%=23 5 9 雪花的面积存在极限(收敛) 雪花的周长是无界的,而面积有界 Http://www.heut.edu.cn

于是有 =  → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1 (1 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论

高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 例1:讨论等比级数(几何级数) oo ∑ag"=a+ag+aq2+…mqn+…(a≠0) n=0 的收敛性 解如果q≠1时 Sn=+aq+aq+…+aq 一a n a aq q Http://www.heut.edu.cn

讨论等比级数(几何级数)  = + + ++ +  = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a  0) 的收敛性. 解 如果q  1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq  aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − = 例1: