河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.1）二重积分的概念与性质

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第九章 重积分 ⊙二重积分的概念与性质 ●二重积分的计算 ⊙二重积分的应用 三重积分的概念及其计算(1) ●三重积分的计算(2) Http://www.heut.edu.cn

二重积分的计算 三重积分的概念及其计算（1） 三重积分的计算（2） 第九章 重积分 二重积分的应用 二重积分的概念与性质

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 小结 Http://www.heut.edu.cn

第一节 二重积分的概念与性质 问题的提出 小结 二重积分的概念 二重积分的性质

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积X高 特点:平顶 一”柱体积? 特点:曲顶 D 曲顶柱体 Http://www.heut.edu.cn

特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×  高 一、问题的提出

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 取极限”的方法,如下动画演示 Http://www.heut.edu.cn

播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 体兴 步骤如下 先分割曲顶柱体的底, f(x,y) 并取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 (5;,m) 顶柱体的体积, △o 曲顶柱体的体积v=lim∑f(5,m)△a Http://www.heut.edu.cn

： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y)  i • ( , ) i i  先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f     =   = → 曲顶柱体的体积 步骤如下

高数课程妥媒血课件 理工大即>> 2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 P(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 1 2 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, △ 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M=imn∑(5,m)σ i=1 Http://www.heut.edu.cn

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量  i • ( , ) 将薄片分割成若干小块，  i i 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M   i    =   = → x y o

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、二重积分的概念 设f(x,y)是有界诩区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1 △a2,…,△an,其中ΔG表示第i个小闭区域, 也表示它的面积,在每个△,上任取一点 (5;,mn), 作乘积∫(51,m)△a; (i=1,2,…,n), 并作和∑∫(51,m)△a, Http://www.heut.edu.cn

定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ，  2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个  i 上 任 取 一 点 ( , )  i i ， 作乘积 ( , ) i i f    i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i  f    = ( , ) 1 ， 定义1 二、二重积分的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)d 即f(x,ylm∑∫(5,n)△a l→>0 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 域数量 表达式 元分 素和 Http://www.heut.edu.cn

积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f     =   → = lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的. (2)当f(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 Http://www.heut.edu.cn

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 对二重积分定义的说明：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D, 则面积元素为do=ddh 故二重积分可写为 f(x,y)d=小f(x,y) Http://www.heut.edu.cn

在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，    = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy d = dxdy 故二重积分可写为 x y o D 则面积元素为