河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 定积分的应用 习题课

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、主要容 理论依据 名称释译 微元法 的所 特求 点量 解题步骤「 定积分应用中的常用公式 Http://www.heut.edu.cn

微 元 法 理 论 依 据 名 称 释 译 所 求 量 的 特 点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 一、主要内容

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 定积分应用的常用公式 (1)平面图形的面积 直角坐标情形 y=∫(x) y=f2(x) A Ly=f(r) a=f(r)dx A=2(x)-f1(x)d Http://www.heut.edu.cn

定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 x y o y = f (x)  = b a A f (x)dx x y o ( ) y = f1 x ( ) y = f2 x  = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx A A 直角坐标情形 a b a b

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 参数方程所表示的函数 如果曲边梯形的曲边为参数方程=(a) y=y(t) 曲边梯形的面积A=.v()p(o)d (其中和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在t1,2(或[t2t1)上x=q()具有连续导数, y=y()连续 Http://www.heut.edu.cn

如果曲边梯形的曲边为参数方程    = = ( ) ( ) y t x t   曲边梯形的面积  =  2 1 ( ) ( ) t t A  t  t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（ 或[ 2 t , 1 t ]） 上x = (t)具有连续导数， y =(t)连续. 参数方程所表示的函数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 极坐标情形 q(6) g2(6) de q1(6 C A=同q()2d A=2(O)-g2(O)d0 2 Http://www.heut.edu.cn

 =   A   d 2 [ ( )] 2 1 o x  d  r = ( )   o x ( ) r =  2  ( ) r = 1   = −   A [ ( )  ( )]d 2 1 2 1 2 2 极坐标情形

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (2)体积 V=lrIf(x)rdx b x=0(y)V=ml()小 0 Http://www.heut.edu.cn

(2) 体积 x x + dx x yo V f x dx ba 2 [ ( )]  =  V y dy dc 2 [( )]  = x yo x = ( y) cd

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 平行截面面积为已知的立体的体积 x"对+ b A(dx Http://www.heut.edu.cn

x o =  b a V A(x)dx a x x + dx b 平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (3)平面曲线的弧长 A.曲线弧为y=∫(x) 弧长S=1+y2a B.曲线弧为{x=9( 0 a xx+dx b y=v()(a≤t≤B) 其中q(t),y(t)在,f上具有连续导数 弧长s=Bap2 p(t)+y'(t)dt Http://www.heut.edu.cn

(3) 平面曲线的弧长 o x y a x x + dx b  dy 弧长 s y dx b a = +  2 1 A．曲线弧为    = = ( ) ( ) y t x t   (  t   ) 其中(t), (t)在[,  ]上具有连续导数 弧长 s t t dt  =  +     ( )  ( ) 2 2 y = f (x) B．曲线弧为

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> C.曲线弧为r=r(6)(as6sB) 弧长s=vr2(O)+r2(O)d0 Http://www.heut.edu.cn

C．曲线弧为 r = r( ) (    ) 弧长      s r r d  = ( ) +  ( ) 2 2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、典型例题 例1已知 x= acos t 星形线 (a>0) y=asin t 求1它所围成的面积; 2它的弧长; 3它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积 Http://www.heut.edu.cn

例1 . 3 2 ; 1 ; ( 0) sin cos 0 0 0 3 3 体积及表面积 它绕轴旋转而成的旋转体 它的弧长 求 它所围成的面积 星形线 已知     = = a y a t x a t − a a o y x 二、典型例题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 解1°设面积为A.由对称性,有 A=4 ydx 4r t: 3acos2't(sint)dt =122a[sin# t]dt 38 2 T 0 2设弧长为L.由对称性有 T L=42 (x)+(, 2dt=4[2 3a cos t sin tdt=6a 0 Http://www.heut.edu.cn

解 1 . 0 设面积为 A 由对称性,有  = a A ydx 0 4 =   − 0 2 3 2 4 asin t 3acos t( sin t)dt   = − 2 0 2 4 6 12 a [sin t sin t]dt . 8 3 2 = a 2 . 0 设弧长为 L 由对称性,有   =  +  2 0 2 2 L 4 (x ) ( y ) dt   = 2 0 4 3acostsin tdt = 6a