河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分（2.3）复合函数的求导法则

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 复合函数的求导法则 小结 思考题 Http://www.heut.edu.cn

第三节 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 小结 思考题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 复合函数的求导法贝 如果函数u=Q(x)在点x可导,而y=f(a) 在点uo=(x)可导,则复合函数y=fq(x)在点 x可导,且其导数为 小y f∫(u)·φ(x) dx 即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) Http://www.heut.edu.cn

( ) ( ). , ( ) , [ ( )] ( ) , ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy x u x y f x u x x y f u x x =   =  =  =  = = 可 导 且其导数为 在 点 可 导 则复合函数 在 点 如果函数 在 点 可 导 而 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 一、复合函数的求导法则

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> △ 证由y=f(n)在点可导,m=f(4n) △ 故=∫'(un)+a(lima=0) △→>0 则△y=f(0)△Mn+aM My= limlf (u)NX △ △ lim △x→>0△△x→>0 △x =f(uo)lim + lim a li△H △x→>0△v△x→>0△x→>0△v f∫(u0)p'(x0) Http://www.heut.edu.cn

证 ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u =      → ( ) (lim 0) 0 =  0 + =    →   u f u u y 故 则 y = f (u0 )u +u x y x     →0 lim lim[ ( ) ] 0 0 x u x u f u x   +   =   →  x u x u f u x x x   +    =   →0  →0  →0 0 ( ) lim lim lim ( ) ( ). u0 x0 = f  

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 推广设y=f(u),u=q(v),v=v(x), 则复合函数y=f{|y(x)的导数为 dy dy du dv dx du dy dx 例1求函数y= In sin x的导数 解∵y=lnu,u=sinx. dy dy du 1 cos cos r =cotx dx du dx u sInd Http://www.heut.edu.cn

推广 设 y = f (u), u = (v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x =   则复合函数 =   的导数为 例1 求函数 y = lnsin x的导数. 解  y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy  =  x u cos 1 =  x x sin cos = = cot x

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求函数y= Inside的导数 解:y=lnuu=sinv=e2 dydy du d du dy dx Cosp·c coSe·C sIne e ctge Http://www.heut.edu.cn

例2 求函数 lnsin 的导数. x y = e 解: x y = lnu u = sinv v = e dx dv dv du du dy dx dy  =   x v e u =  cos  1 x x x e e e =  cos  sin 1 x x = e ctge

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3求函数y=(x2+1)的导数 解=10x2+1)°(x2+1 d x 10(x2+1).2x=20x(x2+1) 例4求函数y 2 arcsin x的导数 2 2 (a>0) 解y=(x a-x-)+ arcsin 2 2 2√a2-x22 a-d Http://www.heut.edu.cn

例 3 ( 1) . 求函数 y = x2 + 10 的导数 解 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x +  x +  dx dy 10 ( x 1 ) 2 x 2 9 = +  20 ( 1 ) . 2 9 = x x + 例 4 arcsin . 2 22 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − + 解 arcsin ) 2 ) ( 2( 2 2 2  = −  +  a a x a x x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 21 a x a a x x a x − + − = − −. 2 2 = a − x (a  0)

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5求函数y=ln x2+1 (x>2)的导数 x-2 解∵y=lm(x2+1)-ln(x-2), 2 3 2x 2x2+1 3(x-2)x2+13(x-2) SIn 例6求函数y=ek的导数 解 n SIn SIn =已 SIn ex·coS tt p : // h

例 5 ( 2) . 21 ln 3 2 求函数  的导数 −+ = x xx y 解 ln( 2), 31 ln( 1) 21 2  y = x + − x − 3( 2) 1 2 1 1 21 2 −  − +   =  x x x y 3( 2) 1 1 2 − − + = x x x 例 6 . 1 sin 求函数 y = e x 的导数 解 ) 1 (sin 1 sin  =  x y e x ) 1( 1 cos 1 sin =    x x e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x = − 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> arcsinx 例7y=C0s 求 2 解 arcsinx y=(cos 2 arcsin arcsinx SIn 2 2 arcsinx SIn 2 Http://www.heut.edu.cn

例 7 y x y = 求  2 arcsin cos 解 ) 2 arcsin  = (cos  x y ) 2 arcsin ( 2 arcsin = −sin •  x x 2 1 1 21 2 arcsin sin x x − = − • •

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例8y=10 xtg 2x 求 解y′=(102 =102x·n10·(xtg2x) =102x·ln10·(您2x+2xse22x) 例9 y= arcsin(nx)求 解y=[ ceresin(nx)r arcsin(nx)+x 1 1-(In x) 2 x arcsin(Inx)+ 2 (n x) Http://www.heut.edu.cn

例 8 xtg x y 2 = 10 求 y  解 1 0 ln1 0 ( 2 ) (1 0 ) 2 2 =     =  xtg x y xtg x xtg x 10 ln10 ( 2 2 sec 2 ) 2 2 tg x x x xtg x =   + 例 9 y = xarcsin(ln x ) 求 y  解 y = [ xarcsin(ln x ) ] x x x x 1 1 (ln ) 1 arcsin(ln ) 2 − = + 2 1 (ln ) 1 arcsin(ln ) x x − = +

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例10y= In cosarctg(a3)求y 解y= In cos arct(a2) sinarcto a cosarctel a 1+a axa In a lna·a 2x 1+a 2x Http://www.heut.edu.cn

例10 y arctg a y x = lncos ( ) 求   = [lncos ( )] x 解 y arctg a a a a arctg a arctg a x x x x ln 1 1 sin ( ) cos ( ) 1 2  + =   x x a a a 2 2 1 ln +  =