河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分（5.5）定积分的分部积分法

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第五节 定积分的分部积分法 分部积分公式 小结

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 分部积分公式 计算不定积分有分部积分法,相应地计算定 积分,也有分部积分法 设函数v(x)、v(x)在区间a,b]上具有连续 b b 导数,则有」,db=[]-∫ vdu 定积分的分部积分公式 b 推导(m)=m"+mn,∫(m)adx=m], LuvIo=fu'vdx+luv'dx udv=Luv vdu Http://www.heut.edu.cn

设函数u( x) 、v( x ) 在区间a , b 上具有连续 导数，则有     = − b a b a b a udv uv vdu . 定积分的分部积分公式 推导 (uv ) = uv + uv ,  ( )   , b a b a uv d x uv   =   ,   =  +  b a b a b uv a u vd x uv d x   .    = − b a b a b a udv uv vdu 计算不定积分有分部积分法，相应地计算定 积分，也有分部积分法 一、分部积分公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1计算∫faro resin xax 解令u= arcsin,d 则d= dx 9 arcsin rd lx arcsin x[2 xdx 0 十 26201-x +[1-x2]=n 十 12 122 Http://www.heut.edu.cn

计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x d x d u − = v = x,  2 1 0 arcsin xdx   2 1 = xarcsin x 0  − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1  =  (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − +  12  =   2 1 0 2 + 1 − x 1. 2 3 12 = + −  则 例1

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2计算「n 0 1+cos 2x 解1+c0s2x=2cos2x, a xdx ditan x 01+cos 2x J0 2 cosx Jo 2 x tan x tan xdx 2 0 T πIn2 n sec 0 82 84 Http://www.heut.edu.cn

计算 解 . 1 cos 2 4 0  + x xdx 1 cos2 2cos , 2  + x = x   +  4 0 1 cos 2x xdx   = 4 0 2 2 cos x xdx d ( x) x tan 2 4 0   =   4 0 tan 2 1  = x x tan xdx 2 1 4 0   −   4 0 ln sec 2 1 8  −  = x . 4 ln 2 8 −  = 例2

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例3计算 1 In(1+x) d 0(2+x) 解 In(1+x) n(1+ x)d (2+x) 2+x 「In(1+x) 十 dIn(1+ x) 2+x 0 02+x In 2 1 十 3 2+x1+ 1+x2+x In 2 +[n(1+x)-ln(2+x)=ln2-lm3 3 3 tt p : // h

计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x  + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) d x x x  + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln( 1 )       + + = − x x  + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x  +  + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1   1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = − 例3

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4设f(x)= x sint d,求「x(x)d 解因为 sin t 没有初等形式的原函数, 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 xf(xdx f∫(x)d(x2) 2 [2f(xl x df(x) 2 0 f(1) x2∫(x)dx 2 2 Http://www.heut.edu.cn

设 求 解  = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 因 为 t sin t 没有初等形式的原函数， 无法直接求出f ( x) ，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx  = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x  10 2 ( ) 21 = x f x  − 10 2 ( ) 21 x d f x ( 1 ) 21 = f  −  10 2 ( ) 21 x f x d x 例 4

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> x sin t 1 sin t f(x) f(1) dt=0 2 2 Sind sinx f"(x) 2x f rf()dx=f() 2Joxr'(r)dx 2rsinx dx sinx ds cosx」l=(c0s1-1) 2 Http://www.heut.edu.cn

 = 2 1 , sin ( ) x d t t t  f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f  x =  =  1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f  −  1 0 2 ( ) 2 1 x f x d x  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x d x  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x d x   1 0 2 cos 2 1 = x (cos 1 1). 2 1 = − 0, sin (1) 1 1 = d t = t t f

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5证明定积分公式 In= sin" xdx= cos"xdx 0 n-1n-33 n为正偶数 nn-2422 n-1n-342 大于1的正奇数 nn-253 证设u=sin"lx,dhv= since du=(n-1)sin"x cos x, v=-cos x, Http://www.heut.edu.cn

证明定积分公式     = = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n        − −  −    − −  − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3    为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv=sinxdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x, 例5

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> L,=Esin"lxcosx1o+(n-1S sin"x co 'xdx 0 1-sin x Ln=(n-1l sin xdx-(n-d sin"xdx (n-1)n2-(n-1)n n-1 n=In2积分关于下标的递推公式 n-2S々 3 n-4 ,直到下标减到0或1为止 n-2 Http://www.heut.edu.cn

I  x x n x xd x n n n    − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1− sin I n xdx n xdx n n n   = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 I n 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I  , 直到下标减到0或1为止

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2n-12m-3531 2n2m-2642 0 (m=1,2,…) 2n2m-2642 2m+1 2n+12m-1753 15 0 π—2 0乙元 sin xdx =1 于是 2n-12m-3 531元 2m2m-26422 2m2m-2642 2n+1 2n+12m-1 753 Http://www.heut.edu.cn

, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m     − −  − =  , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m     − −  + + =  (m = 1,2, ) , 2 2 0 0  = =   I dx sin 1, 2 0 1 = =   I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2      − −  − =  m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1     − −  + + =  m m m m I m 于是