河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间解析几何与向量代数（7.6）平面及其方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第六节平简 平面方程的定义 平面方程的类型 两个平面的关系 点到平面的距离 ○虫平面小结 Http://www.heut.edu.cn

第六节 平面及其方程 平面方程的定义 平面方程的类型 两个平面的关系 点到平面的距离 空间平面小结

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、平面方程的定义 平面上的点都满足(*)方程,不在平面 上的点都不满足上方程(*),方程(*)称为 平面的方程,平面称为方程的图形 二、平面方程的类型 上乎的点法式方程 Http://www.heut.edu.cn

平面上的点都满足（*）方程，不在平面 上的点都不满足上方程（*），方程（*）称为 平面的方程，平面称为方程的图形． 1.平面的点法式方程 一、平面方程的定义 二、平面方程的类型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 上乎面的点法式程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M0( 0909 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥n→MM·n=0 Http://www.heut

x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C},  ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n  必有 0 ⊥  M0M n = 0  n  法线向量的特征 1.平面的点法式方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> M0M={x-x0,y-y0,z-x0} A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z0)=0(2 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C}, 已知点(x0,y,z0) Http://www.heut.edu.cn

{ , , } 0 0 0 0  M M = x − x y − y z − z ( ) ( ) ( ) 0 (*)  A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = 平面的点法式方程 其中法向量 n = {A,B,C},  已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求过三点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3, AC={-2,3,-1} 取n=AB×AC={14,9,-1} 所求平面方程为14x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0 tt p : // h

例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC  = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12x+5=0的平面方程 解n1={1,-1,1},吃2={3,2,-12} 取法向量n=n1×五2={10,15,5}, 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0 Http://www.heut.edu.cn

例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y −12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = −  {3,2, 12} n2 = −  取法向量 n n1 n2    =  = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 考 题确定一个平面的要点 是什么? 思考题解答 点 矢 Http://www.heut.edu.cn

确定一个平面的要点 是什么？ 思 考 题 一点 一矢 思考题解答

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、平面方程的类型 72平雪的一然之 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y)+C(z-z)=0 =Ax+ By+Cd-(Axo By +Czo)=0 D Ax+By+Cx+D=0平面的一般方程 法向量n={A,B,C Http://www.heut.edu.cn

由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0  Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}.  2.平面的一般方程 二、平面方程的类型

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 平面一般方程的几种特殊情况,讨论如下: (1)D=0,平面通过坐标原点; (2)A=0「D=0平面通过x轴; D≠0平面平行于x轴; 0,B,C}·{1,0,0}≡0∴n={4,BC}⊥x轴 D=0平面通过y轴 3)B=0,D≠0平面平行于多={,C⊥y轴 D=0平面通过z轴 (4)C=0, n={A,B,C}⊥z轴 D≠0平面平行于z轴 Http://www.heut.ed

平面一般方程的几种特殊情况，讨论如下： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) B = 0, 平面通过 y 轴 平面平行于y 轴 平面通过 z 轴 平面平行于z 轴 n = {A,B,C}⊥ x 轴  n = {A,B,C}⊥ z 轴  n = {A,B,C}⊥ y 轴      = 0 0 D D     = 0 0 D D     = 0 0 D D （4）C=0， {0,B,C}•{1,0,0}  0 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (4)A=B=0, 平面平行于XQy坐标面 (5)A=C=0, 平面平行于XOZ坐标面 (6)B=C=0, 平面平行于yOZ坐标面 (7)A=B=D=0, 平面为X0y平面 (8)4=C=D=0,平面为X0Z平面 (9)B=C=D=0,平面为yOZ平面 Http://www.heut.edu.cn

(4) A = B = 0, (5) A = C = 0, (6) B = C = 0, 平面平行于xoy 坐标面 平面平行于xoz 坐标面 平面平行于yoz 坐标面 (7) A = B = D = 0, 平面为 xoy 平面 平面为 xoz 平面 (9) B = C = D = 0, 平面为 yoz 平面 (8) A = C = D = 0