河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间解析几何与向量代数（7.2）向量及其加减法向量与数乘法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 第二节向量及其加减法 ◎向量的概念 向量的加藏法 向量与数乘法的概念 Http://www.heut.edu.cn

第二节 向量及其加减法 向量与数乘法 向量的概念 向量的加减法 向量与数乘法的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 、向量的概念 1向量:既有大小又有方向的量 2向量表示:a或M1M2 以M1为起点,M2为终点的有向线段 3向量的模向量的大小.或|M1M2 4单位向量模长为1的向量.a或M,M,0 5零向量:模长为0的向量.0 Http://www.heut.edu.cn

1.向量：既有大小又有方向的量. 2.向量表示： 以M1为起点，M2为终点的有向线段. M1 M2   a  M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 5.零向量：模长为0的向量. 0  | a |  M1M2 3.向量的模：向量的大小. | | 4.单位向量： 或 或 或 一、向量的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 6.自由向量不考虑起点位置的向量 7.相等向量大小相等且方向相同的向量 8.负向量大小相等但方向相反的向量.-d 9向径:空间直角坐标系中任一点M与原点 构成的向量.OM Http://www.heut.edu.cn

6.自由向量：不考虑起点位置的向量. 7.相等向量：大小相等且方向相同的向量. 8.负向量：大小相等但方向相反的向量. a  − 9.向径： a  b  a  − a  空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、两个向量的关系 1相等a=b分与方向相同且a=b 2平行:a/b分a方向相同或相反 3垂直:⊥b分与夹角为 4相反:a与-a称为互为相反的向量 Http://www.heut.edu.cn

1.相等a = b  a与b方向相同且a = b 2.平行：a // b  a与b方向相同或相反 2 3.  垂直：a ⊥ b  a与b的夹角为 4.相反：a与− a称为互为相反的向量 二、两个向量的关系

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 三、向量的加减法 1.加法:a+b=c (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 b Fa+b c=|a|-|b Http://www.heut.edu.cn

1. 加法： a b c    + = a  b  c  （平行四边形法则） 特殊地：若 a  ‖ b  a  b  c  | c | | a | | b |    = + 分为同向和反向 b  a  c  | c | | a | | b |    = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 三、向量的加减法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1.向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律:+b=b+. (2)结合律:a+b+C=(d+b)+C=+(b+d) (3)a+(-a)=0. 2减法a-b=a+(-b)-b b ra+b C=d+(-b) a-b b Http://www.heut.edu.cn

（1）交换律： a b b a.     + = + （2）结合律： a b c a b c       + + = ( + ) + a (b c).    = + + （3） ( ) 0.    a + −a = [2] 减法 a b a ( b)     − = + − a b   b  − b  c −  a b c a b      = − = + (− ) a b   + a b   a −  b  1. 向量的加法符合下列运算规律：

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 向量与数的乘法 1.设元是一个数,向量与的乘积规定为 (1)4>0,M与同向,|An=a|l (2)元=0,Mn=0 (3)几<0,M与反向,|A|=2| 2 Http://www.heut.edu.cn

1. 设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向，| a | | | | a |    =   a  a  2 a  2 1 − 四、向量与数的乘法

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.数与向量的乘积符合下列运算规律 (1)结合律:(d)=以(a)=(4) (2)分配律:(九+)d=+ n(a+b=na+1b 3.两个向量的平行关系 定理 设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯的实数A,使b=An Http://www.heut.edu.cn

（1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）分配律： a a a    ( + ) =  +  a b a b     ( + ) =  +  . 0 b a a b a       =   分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 2. 数与向量的乘积符合下列运算规律： 3. 两个向量的平行关系 定理

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 证充分性显然; 必要性设da取 当b与同向时元取正值, 当b与a反向时元取负值,即有b=An. b 此时b与G同向且A==l=历 λ的唯一性.设b=An,又设b=, 两式相减,得(-1)a=0,即λ-山la=0, a≠0,故-=0,即=p Http://www.heut.edu.cn

证 充分性显然； 必要性 a  b ‖  设 , a b   取  = 当b 与a同向时 取正值，   当b 与a 反向时 取负值，   b a.   即有 =  此时b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  =  的唯一性. 设 b a，   =  又设 b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0， 即 = 

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4.设m表示与非零向量同方向的单位向量 按照向量与数的乘积的规定, d=d 上式表明: 个非零向量除以它的模的结果是一个与 原向量同方向的单位向量 Http://www.heut.edu.cn

设a 表示与非零向量a同方向的单位向量， 0  4. 按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a    = . | | 0 a a a    = 一个非零向量除以它的模的结果是一个与 原向量同方向的单位向量. 上式表明：