河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 空间解析几何与向量代数（7.5）空间曲线与曲面

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 第5节空间曲线与中 曲面的方程 ◎曲线的方程 旋转曲面 柱面 Http://www.heut.edu.cn

第5节 空间曲线与曲面 曲面的方程 曲线的方程 旋转曲面 柱面

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 曲面方程的概念 曲面的实例: 水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的 几何轨迹 Http://www.heut.edu.cn

曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的 几何轨迹． 一、曲面方程的概念

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果曲面S与三元方程F(x,y,x)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F(x,y,=0就叫做曲面的方程, 而曲面S就叫做方程的图形 Http://www.heut.edu.cn

如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、虫间曲线和曲面的方程 曲可的直角方程 F(x,y, z)=0 E =f(x,y) (1) 品若曲面S上的每一点的坐标都满足方程(1), 而且凡满足方程(1)的点都在曲面上,则(1) 称为曲面S的方程,也可以说,曲面S是方程(1) 的图形。 例如F(x,y,z)=x2+y2+x-r2=0歌面 z=√r2-(x2+y2+x2)上半球面 Http://www.heut.edu.cn

F(x, y,z) = 0 或 z = f (x, y) 若曲面S上的每一点的坐标都满足方程（1）， 而且凡满足方程（1）的点都在曲面上，则（1） 称为曲面S的方程，也可以说，曲面S是方程（1） 的图形。 （1） 例如 ( , , ) 0 2 2 2 2 F x y z = x + y + z − r = ( ) 2 2 2 2 z = r − x + y + z 球面 上半球面 1.曲面的直角方程 定义 二、空间曲线和曲面的方程

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2.间曲线的直角方程 定义S:F(x,y,x)=0S2:G(x,y,z)=0 的交线为C,那么联立方程组 ∫F(x,y,z)=0 (2) G(,3, z)=0 称为曲线C的方程。C也称为方程(2)的图形。 例如 2 2 r ty+z 25 ty t z=3 x+=1 Http://www.heut.edu.cn

S1 :F(x, y,z) = 0 S2 : G(x, y,z) = 0 的交线为C，那么联立方程组    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 称为曲线C的方程。C也称为方程（2）的图形。 （2） 例如    = + + = 3 25 2 2 2 z x y z      + = + + = 1 1 4 9 2 2 2 x y z y x 2.空间曲线的直角方程 定义

高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 所本 x2 2 x2+y2+x=25 9 z=3 x+y=1 Http://www.heut.edu.cn

   = + + = 3 25 2 2 2 z x y z      + = + + = 1 1 4 9 2 2 2 x y z y 如图所示 x

高数课程妥媒血课件 理工大理原>> 曲线的参数方程 x=f(t) 参数方程: J=g(t)a≤t≤b z=h(t) 参数方程的矢量形式 r=P(x,y,3)=r(f(t)2g(t),h(t)=R() 例如原柱螺线的参数方程为 x=a coso t y=a sina t 0≤t<+ao yt Http:7/www.heut

     = =   = ( ) ( ) ( ) z h t y g t a t b x f t 参数方程： 参数方程的矢量形式 r = r (x, y,z) = r ( f (t), g(t),h(t)) = R (t) 例如原柱螺线的参数方程为：   +       = = = t z v t y a t x a t sin 0 cos   3. 空间曲线的参数方程

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 向图所示 10 x=5 coso t y=5@ t 2 t 20 0≤t<6P Http://www.heut.edu.cn

t Pi z t y t x t 0 6 2 5 sin 5 cos        = = =   如图所示

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间曲线的直角方程与参数方程的互 直角方程 一参数方程 ∫F(x,y,z)=0 x=o(t) G(x,y,z)=0 y=y(t) z=t 令z=t 「F(x,y,)=0 解出 LG(x,y, t)=0 Http://www.heut.edu.cn

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 令 z = t 解出      = = = z t y t x t ( ) ( )   直角方程 参数方程 空间曲线的直角方程与参数方程的互化    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y t F x y t

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 空间曲线的直角方程与参数方程的万北 参数方程 直角方程 x=f(t) y=8(t) z=h(t) 反解出t=k(z) x-f(h(z=0 代入 y-g(k(x))=0 Http://www.heut.edu.cn

参数方程 直角方程 反解出t = k(z) 代入    − = − = ( ( )) 0 ( ( )) 0 y g k z x f k z      = = = ( ) ( ) ( ) z h t y g t x f t 空间曲线的直角方程与参数方程的互化