河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 不定积分 习题课

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 不定积分写题 主要内容 典型例题 Http://www.heut.edu.cn

不定积分习题课 主要内容 典型例题

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 主要内容 原函数 不定积分 选择u 奇∥今法积分直接‖基 分部 积分法本 积 效 分 方川第一换元法‖几种特殊类型表 第二换元法 函数的积分 Http://www.heut.edu.cn

积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 1、原函数 凶如果在区间Ⅰ内,可导函数F(x)的导函数为 f(x),即x∈Ⅰ,都有F'(x)=∫(x)或 dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为∫(x)或 f(x)d在区间内原函数 原函数存在定理如果函数f(x)在区间内连续,那 么在区间/内存在可导函数F(x),使x∈I,都有 F'(x)=∫(x) 即:连续函数一定有原函 tp://www.heut.edu.cn

如果在区间I 内，可导函数F( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x  I ， 都 有 F(x) = f (x) 或 dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x) 就称为 f ( x)或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 原函数存在定理 如果函数f (x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F(x) ， 使x  I ，都有 F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函 数． 1、原函数 定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 2、不定积分 在区间内,函数f(x)的带有任意常数项 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分,记 为「f(x)x f()dx= F(x)+c 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 Http://www.heut.edu.cn

在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx．  f (x)dx = F(x) + C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 2、不定积分 定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> (1)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 40(=(x)4/(x=/(xk SF(x)dx=F(x)+c dF(x)=F(x)+C (2)不定积分的性质 P∫(x)土g(x)=∫f(x)士g(x 2”∫6(x)=(x)(k是常数,k≠0) Http://www.heut.edu.cn

 1 [ f (x)  g(x)]dx = 0   f (x)dx  g(x)dx (1) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.  2 kf (x)dx = 0  k f (x)dx（k是常数，k  0) (2) 不定积分的性质  f (x)dx f (x) dx d =  d[ f (x)dx] = f (x)dx   F(x)dx = F(x) + C  dF(x) = F(x) + C

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 3、基本积分表 )∫k=kx+C(k是常数)(7)「six=-cosx+C +1 (2)「x“t +1+C(H≠-1)( x ]sec2 xdx=tanx+c cos (3)∫=lx+C SIn ∫ese2xtk=-cotx+ 1+…3dx= arctan+C (10)secx tanxdx= secx +C (5)∫ i i dx=arcsinx+c(11) csc x cot xdx=-cscx+C (6)∫cosx= sinx+c (12) edx=e+C Http://www.heut.edu.cn

(1)  kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 +  − + = +      C x x dx  = x + C x dx (3) ln = +  dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = −  dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C  (6) cos xdx = sin x +C (7)  sin xdx = − cos x +C  (10) sec x tan xdx = sec x +C  (11) csc x cot xdx = − csc x +C =  e dx x (12) e C x + =  x dx 2 cos (8)  xdx = 2 sec tan x +C =  x dx 2 sin (9)  xdx = 2 csc − cot x +C 3、基本积分表

高数课程妥媒血课件 理工大理>> (13)adx +c (20)」224x= arctan+C a+x (14)shed=chx+C (21) +C (15)chxdx=shx +C a x+a (22J_22d a+r (16)tan xd=-In cos x+C n +c 2a a-x (17)cot xdr=Insinx+C (23)∫-2、2= arcsin+C a -d (18)sec xdr=In(sec x+tan x)+C (24) x2±a (19)csc xdx= In(csc x-cot x)+C =In(x+√x2±a2)+C Http://www.heut.edu.cn

 a dx = x (13) C a a x + ln  (16) tan xdx = −lncos x +C  (17) cot xdx = lnsin x +C  (18) sec xdx = ln(sec x + tan x) +C  (19) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + +  arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = −  ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x = + −  arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a = +  +   ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = −  ln 2 1 1 (21) 2 2 x +C  (14) shxdx = ch (15)  chxdx = shx +C

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 5、第一类换元法 定理1设f(um)具有原函数,=q(x)可导, 则有换元公式 ∫fq(x)o(x)dx=可f(a)les 第一类换元公式(凑微分法) Http://www.heut.edu.cn

定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式  f[(x)](x)dx =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法. 4、直接积分法 5、第一类换元法

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 见类型: 2. f(√x) 1.f(x"+)x"x; 3. f(nx) 2 5.f(sin x )cos xd; 6.f(a a dx; 7.f( tan x)sec xd, 8 ∫f( arctan x) 1+x Http://www.heut.edu.cn

1. ( ) ; 1 f x x dx n+ n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x + 常见类型:

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 6、第二类换元法 定理设x=y(t)是单调的、可导的函数,并 且v'(t)≠0,又设∫y(t)y(t)具有原函数, 则有换元公式 ∫f(x)={/ y(lw(tMit)- 第二类换元公式 其中y(x)是x=y(t)的反函数 Http://www.heut.edu.cn

定理 设 x =(t)是单调的、可导的函数，并 且(t)  0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 则有换元公式   ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt      = =  其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式 6、第二类换元法