河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分（2.5）高阶导数

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> ◎高阶导数的定义 高阶导数求法举例 小结 Http://www.heut.edu.cn

第五节 高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数求法举例 小结

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 高阶导数的定义 问是 题:变速直线通动的加速度 设s=∫(),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间t变化率 ∴a(t)=v'(t)=[f'(t) 如果函数(x)的导数f(x)在点处可导即 f(xDr=lim f(x+△x)-f(x) △v→>0 △x 存在,则称f(x)为函数f(x)在点x处的二阶导数 Http://www.heut.edu.cn

, ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x     +  −    =   → 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率  a(t) = v(t) = [ f (t)] . 问题:变速直线运动的加速度. 定义 一、高阶导数的定义

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 记作"(x),y",“或“(x) dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y d 三阶导数的导数称为四阶导数,f(bp(dy 般地,函数f(x)n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 fn)(、d"yatd"f(x) dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地f(x)称为零阶导数(x)称为一阶导数 Http://www.heut.edu.cn

记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f  x y  或 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f  x y  , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 二、高阶导数求法举例 1.直搂法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan,求f"(0),fm 解y 2x J 1+x x (1+x2) 2x 2(3x-2-1) (1+x2)2(1+x2) 2 2r 0;f"(0) 2(3x2-1) 2 2、3|x=0 (1+x (1+x Http://www.heut.edu.cn

例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y +  = ) 1 1 ( 2  +  = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2  + −  = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + −   = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + −  = x x x = 0; f = −2. 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 二、 高阶导数求法举例

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2设y=x°(a∈R,求ym) 解 y =ax y=(x0)=a(o-1)x =(a(a-1)x-)=a(a-1)(-2)x03 (n) a(a-1)…(a-n+1)x-( 若为自然数n,则 (n) (n) (n+1) (n!)’=0 Http://www.heut.edu.cn

例 2 ( ), . (n) 设 y = x  R 求y  解  −1 y = x( ) 1  =    − y x 2 ( 1)  − =   − x  3 ( 1)( 2)  − ( ( 1) ) =   −  − x 2  =   −   − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) =   −  − +   − y n x n n  n 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) =  + y n n = 0

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于 合并,分析结果的规律性,写出m阶导 数、数学归纳法证明) 例3设y=m(+x),求y 解y (1+x) 2 2! (4) 3 (1+x) (1+x) n-1 (n≥1,0=1) (1+x) Http://www.heut.edu.cn

例3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y +  = 1 1 2 (1 ) 1 x y +  = − 3 (1 ) 2! x y +  = 4 ( 4 ) (1 ) 3! x y + = −  ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1  = + − = − − n x n y n n n 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于 合并,分析结果的规律性,写出n阶导 数.(数学归纳法证明) 注 意

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例4设y=sinx,求y() T 解y=c0sx=sn(x+ y=cos( x+)=sin( x+-+=sin( x+2 T y"=cox+2·。)=in(x+3·) = sIn(x + n π2 同理可得(b(n)=c0x+n. Http://www.heut.edu.cn

例4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin(  = x + ) 2 cos(  y = x + ) 2 2 sin(  +  = x + ) 2 sin( 2  = x +  ) 2 cos( 2  y = x +  ) 2 sin( 3  = x +   ) 2 sin( ( )  y = x + n  n ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n  n 同理可得

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例5设y= e" sin bx(a,b为常数),求y 解 y=ae sin bx be cOs e(a sin bx b cos bx) =e. a2+b2 sin( bx+op)(o=arctan 6 y"=√am2+b2·[ce“sim(bx+q)+ be cos(bx+φ a2+b2·e“·a2+b2sin(bx+2p) y=(a+6)2.e sin( bx +n) (=arctan Http://www.heut.edu.cn

例 5 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx a x a x  = sin + cos e (a sin bx b cos bx ) a x = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax =  + +   = [ sin( ) cos( )] 2 2 y  = a + b  ae bx +  + be bx +  ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b  e  a + b bx +  ax  ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b  e bx + n ax n n ( arctan ) ab  =

高数课程妥媒血课件 理工大理>> 2.高阶导数的运算法则 设函数u和v具有n阶导数,则 (1)(u±v)(")=n()±v() (2)(Cn)()=C(n) n(n 1) (3)(u·v)"=n(u+mn(""v'+ (n-2)n n(n-1)…(n-k+1)(m-k 十 L v+……十D( ! ∑ k,(n-k),(k) L =0 蓝布尼薰公式 Http://www.heut.edu.cn

设函数u和v具 有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u  v = u  v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2 ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v u v k n n n k u v n n u v u v n u v − = − − − =  + + − − + +  −  = +  +   2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式

高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例6设y=x2e2,求 解设u=e2,v=x2,则由莱布尼兹公式知 (20) 2x)(20) e x2+20(e2)”).(x2) 20(20-1) 2x、(18) 十 (x)+0 2 =2e.x2+20·2"e2.2x 20·19 2 x 2! =2e(x2+20x+95) Http://www.heut.edu.cn

例 6 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x 2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 2 0(2 0 1) ( ) 2 0( ) ( ) 2 (1 8) 2 ( 2 0) 2 ( 2 0) 2 2 (1 9) 2   + − + =  +   e x y e x e x x x x 2 2 2! 2 0 1 9 2 2 0 2 2 1 8 2 2 0 2 2 1 9 2  + =  +   x x x e e x e x 2 ( 2 0 9 5) 2 0 2 2 = e x + x + x