河北理工学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限（1.8）无穷小的比较

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 第8节无穷小的比较 普价元穷小代换法 无穷小的比较 H tt p /www.heut.edu

第8节 无穷小的比较 等价无穷小代换法 无穷小的比较

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 无穷小的比较 例如,当x→>0时,x,x2,inx,x2sn都是无穷小 2 观li x2比3x要快得多 3x 各极限 sIn lim sinx与x大致相同 0 lim x= lim sin不存在不可比 x→0x 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同 H tt p: //

例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim → 0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin → 0 = 不存在. 观 察 各 极 限 一、无穷小的比较

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 定义:设α2是同一过程中的两个无穷小,且a≠0 (1)如果limP=0,就说β是比α高阶的无穷小 c 记作β=0(x); (2)如果inB=C(C≠0),就说β与a是同阶的无穷小 记作a=O6 特殊地如果lim=1,则称β与a是等价的无穷小 记作α~β (3)如果imB k C(C≠0,k>0),就说是a的k阶的无穷 H tt p /www.heut.edu

( ); (1) lim 0, ,  =  =     记 作 o 如 果 就 说 是 比 高阶的无穷小 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且  0. (2) 如 果 lim = (  0),就 说与是同阶的无穷小;   C C ~ ; lim 1, ;   =     记 作 特殊地 如 果 则 称 与 是等价的无穷小 (3) 如 果lim C(C 0, k 0) ,就 说 是 的k阶 的 无 穷 小. k     =   记 作: =O()

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例1证明:当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小 4ytan°x 解lim tan x lIm x→0 4 0 故当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 例2当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数 tan x -sin x 解 tan x 1-cos ·lim m x→0 x→0x 2 ∵tnx-sinx为x的三阶无穷小 H tt p /www.heut.edu

例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 4 3 0 4 tan lim x x x x → 3 0 ) tan 4 lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 3 0 tan sin lim xx x x − →  ) tan 1 cos lim( 2 0 x x x x x − =  → , 21 = tan x −sin x为x的三阶无穷小

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 常用等价无穷小:当x→0时, sIn arcsin tanx, arctan In(1+x)x, e-l x, 1-cosx-x 2 √/x+1-1~1x 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: C-β ∴Iim m =0,即∞-β=0( 于是有a=β+o() 例如,Sinx=x+o(x),cosx=1-x2+0(x2) Http://www.heut.edu

当x → 0时, 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim = 1,    lim = 0,   −   即− = o(), 于是有 =  + o(). 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 cos 1 2 2 x = − x + o x . 2 1 ln(1 ) ~ , 1 ~ , 1 cos ~ tan ~ , arctan ~ , sin ~ , arcsin ~ , 2 x x e x x x x x x x x x x x x + − − x n x n 1 + 1 − 1 ~ 常用等价无穷小:

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 二、等价元穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 设a-a,B~阻且m存在,则Bm 证 c β— c =Im·m ·Im =m H tt p /www.heut.edu

定理(等价无穷小替换定理) ~ , ~ lim , lim lim .             =   设  且 存在 则 证   lim lim( )         =         = lim lim lim lim .   = 二、等价无穷小替换

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例 lim tan2x x→02X2 tan2x 2x sins s x→>0sin5x 5X5 例2lir m sin x im x→>0x3+3xx→>0x3+3x 例3 lim cosx o(e-1) cosx●x = Im x->0in2x●(1-csx)x→0 2 2 例4lim a rctanx x->01-eX H tt p

= → xx x sin 5 tan 2 0 lim 52 52 lim0 = → xx x 例 1 tan2x ~ 2x sin 5x ~ 5x 0 3 3 2 0 lim 3 3 2 sin 0 lim = → + = → + x x x x x x x x 例 2 0 limx→ 2 2 co s lim sin ( 1 co s ) co s ( 1 ) 2 2 4 0 2 s i n 4 = • • = • − • − → x x x x x x x e x x 例 3 0 limx→ lim 1 1 a rcta n 0 = − − = − → xx e x x 例 x 4

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> XIna 例5Iima-1Lime LIm x In a n a x→>0x x→0 x→>0Ⅹ X C X Inx 例6Lime-e=Ime(e sin 0X- SInX X→>0 X- SIn X Sin X -Lim e (x-sin x x→》0 ⅹ-Slnx H tt p /www.heut.edu

Limx→0 a xx − 1 Limx→0 e x x ln a − 1 Limx→0 x a x a ln = ln e x x − 1 ~ = = Lim = x → 0 e e x x x x −− sin sin Limx→0 e e x x sin x x sin x ( ) sin − − − 1 = =Limx→0 e x x x x sin x ( sin ) sin− − e x x =1 − 1 ~ 例 5 例 6

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> CX βx 例7Lim x→>0 SInox-SIn阝x Ax((a-B)r ele ≤m x→>02c0S (a+B)x.(a-B)x SIn 2 2 e(a-B)x Lim x→>02cos (a+B)x(a-B)x 2 2 H tt p /www.heut.edu

Lim x→0 e e x x x x   − sin − sin Lim x→0 2 ( ) sin 2 ( ) 2co s ( 1) ( ) x x e e x x        + − − − Lim x→0 2 ( ) 2 ( ) 2 co s ( ) x x e x x        + − − = = = 1 例7

高数学课趕媒课件 理工大罗理罗即>> 例8求m tan 2x 1-cosx 解当x→>0时,1-c0sx~x2,tn2x~2x 2 原式=imn(2x)2 8. x→0 注意 2 不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 H tt p /www.heut.edu

例8 . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − → 求 解 , tan 2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原 式 = = 8. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 不能滥用等价无穷小代换. 注 意