《高等数学》课程教学资源：第三节 向量的坐标

第三节向量的坐标 四一、向量在轴上的投影与投影定理 四二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 四三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 四四、小结思考题

、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴,AB是轴u上的有向线 B u 如果数满足元=AB,且当AB与u轴同 向时元是正的,当AB与u轴反向时x是负的, 那末数花叫做轴a上有向线段AB的值,记作 AB,即=AB. 上页

一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u，AB是 轴u上的有向线段. u A B AB AB. u AB AB u AB AB u = =       ， 即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向 时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满 足 ，且当 与 轴 同

设e是与u轴同方向的单位向 A B AB=(AB)e 0 u 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何, AC=AB+BC), 王即(4c)e=(4)+(BC)2=(B+BO, ∴AC=AB+BC 上页

o u A B 1 设e 是 与u轴同方向的单位向量，  AB (AB)e.  = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这 三点 AC e AB e BC e    即 ( ) = ( ) + ( ) (AB BC)e,  = +  AC= AB+BC.  AC= AB+BC, e 

例1布轴上取定一点作为坐标原点.谡,B 是4轴上坐标依次为,u2的两个点,是与轴 同方向的单位向量,证明=(2-"1)2. 证:OA=u1, B 0 2 故O4=1e,同理OB=l2e,于是 AB=0B-04=2e-e=(u2-1)e 上页

证 , OA = u1 例 1 在u 轴上取定一点o 作为坐标原点．设A, B , 是u 轴上坐标依次为u1 , u2 的两个点，e u是 与 轴 同方向的单位向量，证明 A B u u e ( ) = 2 − 1 . , 1 OA u e 故 = u e u e   = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e = − o u A B 1 e u1 2 u , 2 OB u e 同理， = AB = OB − OA 于是

空间两向量的夹角的概念: d≠0,b≠0, O 向量与向量的夹角 q=(a,b)=(b,a)(0≤≤m) 工工工 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 牛它们的夹角可在0与之间任意取值 上页

空间两向量的夹角的概念： 0,   a  0,   b  a  b  向量a  与向量b  的夹角 (a,b)    = (b,a)   = 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与  之间任意取值. (0  )

空间一点在轴上的投影 A 过点A作轴的垂直 平面,交点A即为点 4在轴上的投影, 上页

空间一点在轴上的投影 u •AA 过 点A 作 轴u 的垂直 平面，交点A 即为点 A 在 轴u 上的投影

空间一向量在轴上的投影 B B 已知向量的起点4和终点在 轴上的投影分别为,B那 么轴上的有向线段B的 值,称为向量在轴上的投影 上页

空间一向量在轴上的投影 u AA B B 已知向量的起点A 和终点B 在 轴u 上的投影分别为A, B 那 么轴u 上的有向线段AB 的 值，称为向量在轴u 上的投影

向量AB在轴上的投影记为 Prj AB=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pr jAB=AB|cosq 证 Pr juab=pr jab 工工 B L =AB cos B 上页

向 量AB 在 轴u 上的投影记为 Pr j u AB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向 量AB 在 轴u 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j u AB =| AB | cos 证 u A B A B B  Pr j u AB =Pr j uAB =| AB | cos u

定理的说明: (1)0≤92 投影为正 元 (2)。<q≤π,投影为负; (3)q= 2 投影为零 (4)相等向量在同一轴上投影相等; 上页

定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； u a  b  c  (4) 相等向量在同一轴上投影相等； (1) 0  , 2      2 (2) , (3)  = , 2 

关于向量的投影定理(2) A两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和.(可推广到有限多个) Prj(a+a,)=Prja Prja C B 2 B C 上页

关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 2 j a a ja ja     + = + A A B B C C  （可推广到有限多个） u 1 a  2 a 