《高等数学》课程教学资源：广义积分

第七节广义积分 巴一、无穷限的广义积分 巴二、无界函数的广义积分 巴三、小结思考题

压-无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>n,如果极限mmf(x)存在,则称此极 →+ 限为函数∫(x)在无穷区间a,+)上的广义积 工工工 分,记作f(x)d + 。f(x)dx=limf(x)d 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

定 义 1 设函数f ( x) 在区间[a,+ ) 上连续，取 b  a ，如果极限  → +  b b a lim f ( x )dx 存在，则称此极 限为函数 f ( x) 在 无 穷 区 间[a,+ ) 上 的 广 义 积 分，记作 +  a f ( x )dx .  + a f (x)dx  →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分

c类似地,设函数(x)在区间-b上连续,取 主"“,如果椒[!(你春在,则称此极 限为函数f(x)在无穷区间-b上的广义积 b 午分,记作(x) b f(x)dx=limf(x)dx a→-00 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

类似地，设函数f ( x) 在区间(− , b] 上连续，取 a  b ，如果极限  → −  b a a lim f ( x )dx 存在，则称此极 限 为 函 数 f ( x) 在 无 穷 区 间(− , b] 上 的 广 义 积 分，记作− b f ( x )dx . − b f (x)dx  →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

设函数f(x)在区间(∞,+∞)上连续,如果 上广义积分」∫(x)和「∫(x)都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 王(a+上的广义积分,记作() 工工工 0 + f(x)dx= f(x)dx+ff(x)dx lim f(x)dx+ lim f(x)dx a→)-0·a b→+∞00 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散

设函数 f ( x) 在 区间(− ,+ ) 上 连续 ,如 果 广 义 积 分 −  0 f ( x )dx 和 +  0 f ( x )dx 都 收 敛 ， 则 称上述两广义积分之和为函数f ( x) 在无穷区间 (− ,+ ) 上的广义积分，记作 +  −  f ( x )dx .  + − f ( x)dx − = 0 f ( x)dx  + + 0 f (x)dx  →−  = 0 lim ( ) a a f x dx  →+  + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

例1计算广义积分 dx ∞1+x2 y f(x) 1+ 10 10 上页 圆

例1 计算广义积分 . 1  2 + − + x dx

解:」 dx 0 dx + dx 1 2 2 十x +x2101+x2 0 b m i dx tlim a→-0 1+x 0 2 b→》+ lim arctan xla lim arctan x Jo a→-0 b→)+∞ =-lim arcta na+ lim arctan T T T 2)2 上页

 + − + 2 1 x d x − + = 0 2 1 x d x  + + + 0 2 1 x d x  + = →−  0 2 1 1 lim a a d x x  + + →+  b b d x x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →−  =   b b arctan x 0 lim →+  + a a lim arctan →−  = − b b lim arctan →+  + . 2 2 =    +       = − − 解:

例2计算广义积分2sn 解 sindh- p+,1,1 sIn—d 元x b b = lim[ sind limits b→+J2 rx b→ lim i cos--cOS b→+ b 2 上页

例2 计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2 +  dx x x  +  2 1 sin 1 2 dx x x  +         = − 2 1 1 sin x d x         = − →+  b b x d x 2 1 1 lim sin b b x        = →+  2 1 lim cos       = − →+  2 cos 1 lim cos  b b =1

例3证明广义积分当>1时收敛, c当p≤1时发散 证()p=1 +oO dx P 1 dx=[nxl°=+o 1-p + ∞,P1 A因此当P>1时广义积分收敛,其值为 P 当P≤1时广义积分发散 上页

例 3 证明广义积分 +  1 1 dx x p 当p  1 时收敛， 当 p  1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 d x x p  + = 1 1 d x x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 d x x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p  1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p  1时广义积分发散

例4证明广义积分c四女学>0时收敛, 当P+ P -p >0 b→+o p 0时收敛,当<0时发散 上页

例 4 证明广义积分 +  − a p x e dx 当p  0 时收敛， 当 p  0 时发散. 证  + − a px e dx  − →+  = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+  lim       = − − − →+  p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即 当 p  0 时收敛，当p  0 时发散

生二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区闻,b上连续,而在 点的右邻域内无界.取6>0,如果极限 cimf(x)存在,则称此极限为函数(x) E→+ b 工工工 在区间an上的广义积分,记作(x) b f(x)dx=lim f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页

定 义 2 设函数f ( x) 在区间(a, b] 上连续，而在 点a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取   0 ， 如 果 极 限  → + + b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f ( x) 在区间(a, b] 上的广义积分，记作 b a f ( x )dx .  b a f (x)dx  →+ + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分