《高等数学》课程教学资源：定积分的性质中值定理

第二节定积分的性质 中值定理 基本内容 四二、小结思考题

、基本内容 对定积分的补充规定: (1)当a=b时,「f(x)dx=0; (2)当4>b时,J。f(x)=-f(x) 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小 上页

对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0  b a f x d x ； （2） 当a  b 时 ，  = − a b b a f ( x )dx f ( x )dx . 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容

b 性质1f(x)±8(x)=f(x)士g(x)d b 证1f(x)±g(x)ax =lim∑If(5)±g(5)Ax i=1 im∑f(51)Ax±im∑g(9)Ax i=1 i=1 b =」f(x)dx±g(x)dx (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 王页下

证   b a [ f (x) g(x)]d x i i i n i =  f  g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0    i i n i =  f x = → lim ( ) 1 0   i i n i   g x = → lim ( ) 1 0    = b a f ( x)dx ( ) .   b a g x d x   b a [ f ( x ) g( x )]dx  = b a f ( x )dx   b a g( x )dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1

上性质2「”6(x)dx=kf(x)d(k为常数 证6f(x)x=im∑4(5,)A →0 =Im∑∫(9Ax1=kim∑f(41)Ax1 →0 i=1 →0 i=1 b kf(x)dx 上页

  = b a b a k f (x)d x k f (x)d x (k为常数). 证  b a kf ( x)dx i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0   i i n i = k  f x = → lim ( ) 1 0   ( ) .  = b a k f x d x 性质2

性质3假设a<c<b f(x)=(x)+了.f(x) 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<C, ∫∫(x<(xx+f(x)dx 则∫f(x)dx=f(xx-(x)dx b =J∫(x)dx+ f∫(x)dx C (定积分对于积分区间具有可加性) 上页

 b a f ( x )dx   = + b c c a f ( x)dx f ( x)dx . 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a  b  c,  c a f ( x)dx   = + c b b a f (x)d x f (x)d x  b a f ( x)dx   = − c b c a f (x)d x f (x)d x ( ) ( ) .   = + b c c a f x d x f x d x （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a  c  b

b 性质4[1dx=dx=b-a. 性质5如果在区间a,b上f(x)≥0, b 则∫f(x)≥0.(a<b) 证∫(x)≥0,∴f(;)≥0,(i=1,2,,m) △x1≥0,∴∑∫(ξ,)△x2≥0, =1 =max{△x1,△x2,…,△xn} im∑f(51)Ax;=f(x)x≥0 →0 i=1 上页

d x b a   1 d x b a  = = b − a . 则 ( )  0  f x dx b a . (a  b) 证  f ( x)  0,  ( )  0, i f (i = 1,2,  ,n)   0, i  x ( ) 0, 1      = i i n i f x max{ , , , } 1 2 n  = x x  x i i n i   f x = → lim ( ) 1 0   ( ) 0.  =  b a f x d x 性质4 性质5 如果在区间[a,b]上f (x)  0

庄例1比较积分倒”c和厂x的大小 解令∫(x)=e-x,x∈|-2,0 f(x)>0,∴∫2(e2-x)dx>0, 0 0 e dx> xd. 2 2 于是[eax<[xdx 0 0 上页

例 1 比较积分值 e dx x  −2 0 和 xdx  − 2 0 的大小. 解 令 f (x) e x, x = − x [−2, 0]  f ( x)  0, ( ) 0, 0 2  −  − e x d x x e dx x −  0 2 , 0 2 xd x −  于是 e dx x  −2 0 . 2 0 xd x  − 

性质5的推论: (1)如果在区间a,b1上∫(x)sg(x), b 则,f(x)c≤J,g(x)k (<b 证 ∫(x)≤g(x),∴g(x)-∫(x)≥0, JIg(x)-f(x)x≥0 b ∫,s(x)dx-Jmf(x)dx≥0, b b 于是[f(x)x≤g(x)dx 上页

性质5的推论： 证  f ( x)  g( x),  g( x) − f ( x)  0,  [ ( ) − ( )]  0,  g x f x d x b a ( ) − ( )  0,   b a b a g x d x f x d x 于是 f x d x b a  ( ) g x d x b a   ( ) . 则 f x dx b a  ( ) g x dx b a   ( ) . (a  b) （1） 如果在区间[a , b ]上 f ( x )  g ( x )

性质5的推论: (2)/(xM(x),(a≤b) 证:-f(x)≤f(x)≤f(x) b b -「f(x)dx≤f(x)dxsf(x)dx, 生唧/(+(k 说明:1(x)在区间列上的可积性是显袋的 上页

f x d x b a  ( ) f x dx b a   ( ) . (a  b) 证  − f (x)  f (x)  f (x), f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x, b a b a b a     −   即 f x d x b a  ( ) f x dx b a   ( ) . 说明： | f (x)|在区间[a,b]上的 可积性是显然的. 性质5的推论： （2）

性质6设M及分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值及最小值, b 则m(b-a)≤Jmf(x)ksM(b-a) 证∵m≤f(x)≤M ∴.mdx≤ ∫f(x)dx≤Mx, m(b-a)sf(xdx≤M(b-a) (此性质可用于估计积分值的大致范围) 上页

设M 及m 分别是函数 证  m  f ( x)  M , ( ) ,       b a b a b a md x f x d x Mdx m(b a) f ( x)d x M (b a). b a −   −  （此性质可用于估计积分值的大致范围） 则 m(b a ) f ( x )dx M (b a ) b a −   −  . f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 性质6