《高等数学》课程教学资源：空间直线及其方程

第八节空间直线及其方程 巴一、空间直线的一般方程 巴二、空间直线的对称式方程与参数方程 巴三、两直线的夹角 巴四、直线与平面的夹角 四五、小结思考题

压-空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线 ∏1:A1x+B1y+C1z+D,=03 II,: A,x+B,y+C,z+D,=0 工工工 ∫4x+By+Cz+D1=0 A2x+ B,y+C2+D2=0 0 空间直线的一般方程x 上页

x y z o  1  2 定义 空间直线可看成两平面的交线． : 0 1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = : 0 2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 =    + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程

二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于 条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量 eT Mo(o,yo,0), M(x, y,s ), vM∈L,M0M∥/sx 工工 s=m, n, p3, MoM=x-xo,y Do34-Zo 上页

x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s  L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0   M  M  L, M( x, y,z), M M s  0 // s = {m, n, p},  { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 二、空间直线的对称式方程与参数方程

-d yo3-% n 直线的对称式方程 令 x-xo y= -zo t x=x+ mt 直线的一组方向数 y=yo+ nt 方向向量的余弦称为 z=Z0+ pt 直线的方向余弦 直线的参数方程 上页

p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0      = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程

例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+ J +z+1=0 2x-y+3z+4=0 解在直线上任取一点(x0,y0,zo Jo +Z +2=0 取 =1 0 0 0 y0-3z0-6=0 解得y=0,zp=-2 点坐标(1,0,-2 上页

例1 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0    − + + = + + + = x y z x y z 解 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 1 x0 = , 3 6 0 2 0 0 0 0 0    − − = + + =  y z y z 解得 0, 2 y0 = z0 = − 点坐标 (1,0,−2)

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取s=xn2={4,-1,-3}, 对称式方程 x-1y-0z+2 3 x=1+4t 参数方程y=-t z=-2-3t 上页

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n1 n2 s    =  = {4,−1,−3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4      = − − = − = + z t y t x t

例2一直线过点4(2,-3,4),且和轴垂直相 交,求其方程 解因为直线和轴垂直相交, 所以交点为B(0,-3,0), 取s=BA={2,0,4}, 所求直线方程 x-2 y+3 z 2 0 上页

例 2 一直线过点A(2,−3,4) ，且和y 轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0, −3, 0), 取 s = BA  = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z

王三、两直线的夹角 定义两直线的方向向量的夹角称之.(锐角) 直线L:1= y=y13- PI 直线L, x-x2_y-y2 z-z,v4 2 p2 CoS(L, L2) m,m,+ n,n2+Pip2 2 2 m +n, p 1,+n 2 2 十 2 两直线的夹角公式 上页

定义 直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + +  + + + + ^ = 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 三、两直线的夹角

庄两直线的位置关系 王04→吗士n=0 9 (2)L,∥2=m="=P1 2 2 工工工 例如,直线L1:S1={1,-4,0}, 直线L2:s,={0,0,1}, s1→·S2=0,∴s,⊥s2,即L1 上页

两直线的位置关系： 1 2 (1) L ⊥ L 0,   m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 1 2 (2) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m   = = 直线 : L1 直线 : L2 {1, 4, 0}, s1 = −  {0,0,1}, s2 =  0, s1  s2 =    , 1 2 s s    ⊥ 例如， . 即 L1⊥L2

例3求过点(-3,2,5)且与两平面x-4z=3和 2x-y-5z=1的交线平行的直线方程 解设所求直线的方向向量为s={m,n,P}, 根据题意知S⊥n1,s⊥n2, 取s=n1×n2={-4,3,-1}, 所求直线的方程 x+3y-2z-5 3 上页

例 3 求过点(−3, 2,5) 且与两平面x − 4z = 3和 2 x − y − 5z = 1的交线平行的直线方程. 解 设所求直线的方向向量为 s = {m, n, p},  根据题意知 , n1 s   ⊥ , n2 s   ⊥ 取 n1 n2 s    =  = {−4,−3,−1}, . 1 5 3 2 4 3 − = − = x + y z 所求直线的方程