《高等数学》课程教学资源：定积分的换元法

第四节定积分的换元法 、换元公式 小结思考题

、换元公式 定理假设 (1)f(x)在[a,b上连续; (2)函数x=9(0)在a,上是单值的且有连续 导数 (3)当在区间[a,月上变化时,x=g(t)的值 A在a,b上变化,且q(a)=a、q(B)=b, 王则有(=-/opow 上页

定理 假 设 （1） f ( x) 在[a, b]上连续； （2）函数 x =  (t) 在[ ,  ] 上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[ ,  ] 上变化时， x =  (t)的 值 在[a, b]上变化，且 ( ) = a 、 ( ) = b ， 则 有 f x d x f t t d t b a   =    ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式

证设F(x)是f(x)的一个原函数, ∫∫(xMx=F(b)-F(a ∵Φ(t)=Fφ(t), de dx d(t)= =f(x)(t)=∫|@(t)q(t dx dt ①(t)是∫|q(t)q'(t)的一个原函数 ∫flp()(t=Φ(β)-(a, 上页

证 设F(x) 是f (x) 的一个原函数， f ( x)d x F (b) F (a), b a = −   (t) = F[(t)], dt d x d x dF (t) =  = f (x)(t)= f[(t)](t), [( )]( ) = () − (),    f t t d t   (t ) 是 f [ (t)] (t) 的一个原函数

q(a)=a、q(B)=b, ①(B)-Φ(a)=F|q(B)-F|q(a =F(b)-F(a), f(xdx=F(b)-F(a=d(B)-(a =f()(u 注意当a>B时,换元公式仍成立 上页

( ) = a 、 ( ) = b , ( ) − () = F[( )] − F[()] = F(b) − F(a), f ( x)d x F(b) F(a) b a = −  = ()−() f[ (t)] (t)dt.  =      注意 当   时，换元公式仍成立

应用换元公式时应注意 (1)用x=q()把变量换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出∫|φ()φ'(t)的一个原函数(t)后,不 必象计算不定积分那样再要()变换成原 变量x的函数,而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ(t)然后相减就行了 上页

应用换元公式时应注意: （1） 求 出 f [ (t)] (t) 的一个原函数(t) 后，不 必象计算不定积分那样再要把(t) 变换成原 变 量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t) 然后相减就行了. （2） 用x =  (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变

王例1计算 cos xsin xdx 解令t=c0sx,t=- sin xdx, 2 →t=0,x=0→t=1, 20 cosrsin xdx 0 tdt 66 上页

例1 计算 cos sin . 2 0 5   x xdx 解 令 t = cos x, 2  x =  t = 0, x = 0 t = 1,   2 0 5 cos x sin xdx  = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx

例2计算smx-smx A.. f(x)=Nsin x-sin5x=cos x(sin x ) T Csin x-sin5 xdx=fcos x(sin x)idc 0 0 兀 2 cos x( in x)idr-j cos xsin x2dx T [2(sin x)id sin x-[( sin x)idsinx 0 2 52 5 sin x)2 45 inx)2= 上页

例2 计算 解 sin sin . 0 3 5   x − xd x f x x x 3 5  ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x    − 0 3 5 sin x sin xd x ( )   = 0 2 3 cos x sin x dx ( )   = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( )   −  2 2 3 cos x sin x dx ( )   = 2 0 2 3 sin x d sin x ( )   −  2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2  = x ( )   − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =

dx 生例3计剜∫ Ne x/In x(1-In x) 解原式=」 d(n x) √nx(1-mx) 3 d(n x) d、l n 2 √mx√(-Inx) n d arcsin(vIn x)e 0 上页

例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3  − e e x x x d x 原式  − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x  − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x  − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x   4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6  =

王 王例4计算「 2 dx.(a>0) x+√a 王解令x=asm,a=amM, v=→t= 2=0→t=0, T 原式= a cost dt asin+a(l-sinft) cos t - dt 0 sin t+ cos t 2Jo1cost-sint sint+cost/e π1 十 nsin t+cos t2_T 222 上页

例4 计算 解   + − a d x a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x=a , 2   t = x = 0  t = 0, dx = acostdt, 原式   + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos d t a t a t a t   + = 2 0 sin cos cos dt t t t         + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 d t t t t t   2 0 l n sin cos 2 1 2 2 1  + +  =  t t . 4  =

例5当∫(x)在[一a,a上连续,且有 ①f(x)为偶函数,则 ∫f(x)dx=2/nf(x)dk; ②f(x)为奇函数,则f(x)d=0 证∫f(x)x=」∫(x)x+m f(xdx 0 0 在」∫(x)d中令x=-t, 上页

例 5 当 f ( x) 在[−a, a]上连续，且有 ① f ( x) 为偶函数，则   − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f ( x) 为奇函数，则− = a a f ( x )dx 0 . 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0    − − = + a a a a f x d x f x d x f x d x 在− 0 ( ) a f x dx 中 令x = −t