《高等数学》课程教学资源：定积分的近似计算

第六节定积分的近似计算 问题的提出 嘠二、矩形法 梯形法 巴四、抛物线法 巴五、小结

生一、问题的提出 计算定积分的方法: (1)求原函数; (2)利用牛顿一莱布尼茨公式得结果 问题 (1)被积函数的原函数不能用初等函数表示; 工工工 (2)被积函数难于用公式表示,而是用图形或 A表格给出的; (3)被积函数虽然能用公式表示,但计算其原 函数很困难 上页

一、问题的提出 计算定积分的方法： (1) 求原函数； 问题： (1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示； (2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或 表格给出的； (3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原 函数很困难． (2) 利用牛顿－莱布尼茨公式得结果．

解决办法:建立定积分的近似计算方法 思路: b ∫f(x)(f(x)≥0)在数值上表示曲边梯形 午的面积,只要近似地算出相应的曲边梯形的 工工工 面积,就得到所给定积分的近似值 常用方法:矩形法、梯形法、抛物线法 上页

解决办法：建立定积分的近似计算方法． 常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法． 思路： 面积，就得到所给定积 分的近似值． 的面积，只要近似地算 出相应的曲边梯形的  f ( x)dx ( f ( x)  0) 在数值上表示曲边梯形 b a

庄二、矩形法 用分点a=x0,x1,…,xn=b将区间{a,b1n等分, 取小区间左端点的函数值y(i=0,1,…,n)作为 窄矩形的高,如图 则有 y=f(x) 工工工 b f(x)=∑Ax i=1 yoy b-a ∑ x.x= b n i 上页

二、矩形法 窄矩形的高，如图 取小区间左端点的函数 值 作 为 用分点 将区间 等分， ( 0,1, , ) , , , [ , ] 0 1 y i n a x x x b a b n i n   = = = o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 0 y 1 y n−1 y n y (1) ( ) 1 1 1 1    = − = − − =   n i i n i i b a y n b a f x dx y x 则有

取右端点的函数值y;(i=1,2,…,n)作为窄矩形 的高,如图 则有 y=∫( b f(x)dk≈∑pAx s-a、 y ∑ (2) n i=1 ox ,= b (.(2称为矩形法公式 上页

的高，如图 取右端点的函数值 yi (i = 1,2,,n)作为窄矩形 (2) ( ) 1 1    = = − =   n i i n i i b a y n b a f x dx y x (1)、(2) 称为矩形法公式．o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 0 y 1 y n−1 y n y 则有

生三、梯形法 梯形法就是在每个小 Jn 区间上,以窄梯形的 1. 面积近似代替窄曲边 梯形的面积,如图 =ox x.x=b b Jf(x)k=2(mn+n)△x+2(y1+n)△x 工工 十∴ 20m-1+yn)△x b (y0+yn)+y1+y2+…+yn-1l(3) 上页 圆

三、梯形法 梯形法就是在每个小 区间上，以窄梯形的 面积近似代替窄曲边 梯形的面积，如图 o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 1 y n−1 y n y 0 y ( ) ] (3) 2 1 [ ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 1 2 1 1 0 1 1 2 − − + + + + + − = + + +   +  + +   n n n n b a y y y y y n b a y y x f x dx y y x y y x  

例1用矩形法和梯形法计算积分e 的近似值. 解把区间十等分,设分点为x,(i=0,1,…,0) 相应的函数值为y2=e(i=0,1,…,10)列表: 00 2 3 4 0102 0.3 040.5 ;1.0000099000.96070913930.8521407788 王页下

例１ 的近似值． 用矩形法和梯形法计算 积分  − 1 0 2 e dx x 解 , , i 把区间十等分 设分点为 x 相应的函数值为 ( 0,1, ,10) 2 yi = e −xi i =  (i = 0,1,  ,10) i i x i y 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00000 0.99005 0.96079 0.91393 0.85214 0.77880 列表:

i6 7 8 10 x0.60.7080.9 y0.69762|06126:0527290448403678 利用矩形法公式(1),得 0 ed≈(y+y1+…+y,)× 0 100.77782 利用矩形法公式(2),得 ec≈(y1+y2+…+y1o) 1-0 =0.71461 10 上页

i i x i y 6 7 8 9 10 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.69768 0.61263 0.52729 0.44486 0.36788 利用矩形法公式（１），得 10 1 0 ( ) 0 1 9 1 0 2 −  + + +   − e dx y y y x  = 0.77782. 利用矩形法公式（２），得 10 1 0 ( ) 1 2 10 1 0 2 −  + + +   − e dx y y y x  = 0.71461

利用梯形法公式(3),得 1-01 ed≈,I(y+y10)+y1+y2…+yg 102 实际上是前面两值的平均值, c-x≈,(0.732+0.71401) =0.74621 上页

利用梯形法公式（３），得 ( ) ) 2 1 [ 10 1 0 0 1 0 1 2 9 1 0 2 e dx y y y y y x + + + + −   −  实际上是前面两值的平均值， (0.77782 0.71461 ) 2 1 1 0 2   +  − e dx x = 0.74621

生四、抛物线法 抛物线法是将曲线分为许多小段,用对称轴平 行于y轴的二次抛物线上的一段弧来近似代替 原来的曲线弧,从而得到定积分的近似值 用分点a= 01,…,x,=b 把区间分成n(偶数)等分, 这些分点对应曲线上的点为 n M2(x;,y2)(v2=f(x1) 2 0 (i=0,1,2,n)0a=xx . x

四、抛物线法 原来的曲线弧，从而得 到定积分的近似值． 行 于 轴的二次抛物线上的一 段弧来近似代替 抛物线法是将曲线分为 许多小段，用对称轴平 y ( 0,1,2, ) ( , ) ( ( )). , , , 0 1 i n M x y y f x n a x x x b i i i i i n   = = = = 这些分点对应曲线上的 点 为 把区间分成 （偶数）等分， 用分点 o x y y = f (x) 0 a = x 1 x n−1 x x b n = 1 y n−1 y n y 0 y 2 y