《高等数学》课程教学资源：二次曲面

第九节二次曲面 一、基本内容 巴二、小结思考题

生一、基本内容 上二次曲面的定义 三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 牛相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. 上页

二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 一、基本内容

(-)椭球面 c ×÷ = 20 2 椭球面与「212 三个坐标面N+ =1 b 的交线: z=0 y,2 b c y=0 x=0 y

o z y x （一）椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 椭球面与 三个坐标面 的交线： , 0 1 2 2 2 2      = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2      = + = x c z b y , 0 1 2 2 2 2      = + = z b y a x

士 椭球面与平面z=x1的交线为椭圆 2 2 Xb(C =1 2 2 2 C 2 2 C C [z=G Zi<c 同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 上页

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆.        = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1

椭球面的几种特殊情况: 2 2 1)a=b, y Z =1旋转椭球面 由椭圆,+,=1绕z轴旋转而成 2 2 方程可写为 2+2=1 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面x=(x1c)的交线为圆 上页

椭球面的几种特殊情况： (1) a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2 + = c z a x 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 方程可写为 与平面 z = z1 (| | ) 的交线为圆. 1 z  c

2 截面上圆的方程 C 2 z=1 2 2 (2)a=b=c, x y +22+2=1球面 方程可写为x2+y2+z2=a2 上页

(2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x + y + z = a . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2      = + = − z z c z c a x y 截面上圆的方程 方程可写为

(二)抛物面 2 2 J 2 p 29 z(p与q同号) 椭圆抛物面 用截痕法讨论:设p>0,q>0 (1)用坐标面xoy(z=0)与曲面相截 截得一点,即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 上页

（二）抛物面 z q y p x + = 2 2 2 2 （ p 与 q 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0) 设 p  0, q  0 原点也叫椭圆抛物面的顶点

与平面z=1(x1>0)的交线为椭圆 x y +=1￥z变动时,这种椭 2 PZ1 2gz 圆的中心都在z轴上 z=2 与平面z=z1(z1<0)不相交 (2)用坐标面xoz(y=0)与曲面相截 截得抛物线 2=2px y=0 上页

与平面 的交线为椭圆. 1 z = z      = + = 1 1 2 1 2 1 2 2 z z q z y p z x 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. 1 z z ( 0) z1  与平面 不相交. 1 z = z ( 0) z1  （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截    = = 0 2 2 y x pz 截得抛物线

与平面y=y1的交线为抛物线 2 x2=2 它的轴平行于z轴 2 2q y=JI 顶点\0,y24 (3)用坐标面yz(x=0),x=x1与曲面相截 均可得抛物线 同理当P<0,q<0时可类似讨论 上页

与平面 的交线为抛物线. 1 y = y      =       = − 1 2 2 1 2 2 y y q y x p z 它的轴平行于 z 轴 顶点       q y y 2 0, , 2 1 1 （3）用坐标面 yoz ( x = 0) ， x = x1 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p  0, q  0 时可类似讨论

椭圆抛物面的图形如下: Z y X 0 p0,q>0 上页

z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： p  0, q  0 p  0, q  0