《高等数学》课程教学资源：定积分的分部积分法

第五节定积分的分部积分法 四一、分部积分公式 二、小结思考题

庄一、分部积分公式 设函数(x)、p(x)在区间a,b]上具有连续 导数,则有wh=[m]-」Jwtm 定积分的分部积分公式 推导(m)=u'v+my,∫(ap)x = uv 9 b b 工工 Lwe=Jn'vx+∫uptx, b b b ∫b=[m1- vdu 上页

设函数u( x) 、v( x ) 在区间a , b 上具有连续 导数，则有     = − b a b a b a udv uv vdu . 定积分的分部积分公式 推导 (uv ) = uv + uv ,  ( )   , b a b a uv d x uv   =   ,   =  +  b a b a b uv a u vd x uv d x   .    = − b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式

例1计算n arcsin d 解令m= arcsinx,h=在, 则du= dx y= 9 rax 「 arcsin xdx=[ xaresin x].-f 1 十 2620、1-x 2(1-x2) T +|1-x2 12 122 上页

例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x d x d u − = v = x,  2 1 0 arcsin xdx   2 1 = xarcsin x 0  − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1  =  (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − +  12  =   2 1 0 2 + 1 − x 1. 2 3 12 = + −  则

xdx 例2计算 1+cos 2x 解:1+c0s2x=2c032x, xdx 4 x d tan x Jo 1+cos 2x Jo 2 cos2x Jo 2 CLx tan x Io tan ro dx 2 2J0 -LIn sec x i-it In 2 82 84 上页

例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0   + x xdx 1 cos2 2cos , 2  + x = x   +  4 0 1 cos 2x xdx   = 4 0 2 2 cos x xdx d ( x) x tan 2 4 0   =   4 0 tan 2 1  = x x tan xdx 2 1 4 0   −   4 0 ln sec 2 1 8  −  = x . 4 ln 2 8 −  =

例3计算∫ In( 1+x) (2+x)2 解 1ln(1+x) dx=- In(1+x)d 0(2+x) 0 2+x I(1+x)7,rl1 2+x」0 0 2++q(1+x In 2 十 3 2+x1+ 1+x2+x In 2 +[n(1+x)-ln(2+x)l=,ln2-ln3 3 3 上页

例3 计算 解 . (2 ) ln( 1 ) 1 0  2 + + dx x x  + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) d x x x  + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln( 1 )       + + = − x x  + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln 2 = − dx x x  +  + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1   1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln 2 = − + + x − + x ln 2 ln 3. 3 5 = −

例4设∫(x)=」 x sint d,求[xf(x)dx t 解因为没有初等形式的原函数, 无法直接求出∫(x),所以采用分部积分法 Jo xf(x)ax=af(x)d(x) Kx'f(x]-55ox'af(ry 212 f(1 (1)-xf(x)dx 2 0 上页

例 4 设 求 解  = 2 1 , sin ( ) x d t t t f x ( ) . 1 0 x f x dx 因 为 t sin t 没有初等形式的原函数， 无法直接求出f ( x) ，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx  = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x  10 2 ( ) 21 = x f x  − 10 2 ( ) 21 x d f x ( 1 ) 21 = f  −  10 2 ( ) 21 x f x d x

sint 1 sint ∵∫(x)= t,f(1)=、t dt=0, 2 sInd 2 sinx f"(x) 2x y(x)hx=r()-1[ x∫'(x)dx 2 20 2xsinx dx sinx dr 2 2 2 cosx」=(cos1-1) 2 2 上页

 = 2 1 , sin ( ) x d t t t  f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f  x =  =  1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f  −  1 0 2 ( ) 2 1 x f x d x  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x d x  = − 1 0 2 2 sin 2 1 x d x   1 0 2 cos 2 1 = x (cos 1 1). 2 1 = − 0, sin (1) 1 1 = d t = t t f

例5证明定积分公式 sin xax= 20 cos xdx 0 n-1n-331丌 n为正偶数 n n-2 422 n-1n-3 42 ,为大于1的正奇数 n-253 证设〃=肪, dv=sinxd du =(n-1)sin"x cos xdx, v==cos x 上页

例5 证明定积分公式     = = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n         − −  −     − −  − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3    为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv=sinxdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x

l=[sm” x cos+(n-)∫si"2xos2xdt 0 0 1-sin x 1n=(n-1) i"2xx-(-5t =(n-1)n-2-(n-1)n l.sn-I In2积分关于下标的递推公式 n n-3 n-2 n-4 ,直到下标减到0或1为止 n-2 上页

I  x x n x xd x n n n    − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1− sin I n xdx n xdx n n n   = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 I n 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I  , 直到下标减到0或1为止

2n-12m-3531 2 2m2m-2 64)10, (m=1,2,…) 2m2m-2642 2m+1 2m+12m-1753 19 T 2 0 sin xdx 0 0 工工工 于是I,= 2m-12mt-3 531丌 n 2m2m-26422 2m2m-2642 2n+1 2m+12m-1753 上页

, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m     − −  − =  , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m     − −  + + =  (m = 1,2, ) , 2 2 0 0  = =   I dx sin 1, 2 0 1 = =   I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2      − −  − =  m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1     − −  + + =  m m m m I m 于是