《高等数学》课程教学资源：分部积分法

第三节分部积分法 基本内容 小结 三、思考题

生一、基本内容 问题∫xex=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数=l(x)和=W(x)具有连续导数, 工工工 (uv=uv+uv, ur=(uv)-u'v, uv'dx=uv-lu'vd,udv=uv-vdu 分部积分公式 王页下

问题  x e d x = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u( x) 和v = v( x) 具有连续导数, (uv) = uv + uv ,  uv (uv) − uv,   = uv dx uv u vdx,    = −  udv uv vdu.   = − 分部积分公式 一、基本内容

例1求积分[ xcos xdx. 解(一)令u=cosx,xdlx=dx2=dv 2 主j 2 2 xcos xdx -cOSX sin xdx 2 显然,u,v选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x, cos xdx= d sinx=h x cos xdx=xdsin x=xsinx-Isinxdx =sinx +cosx+C 上页

例1 求积分 cos .  x xdx 解（一） 令 u=cos x, xdx = d x = d v 2 2 1  x cos xdx  = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u= x, cos xdx = d sin x = dv  x cos xdx  = x d sin x  = x sin x − sin xdx = xsin x +cos x +C

例2求积分∫x2ex 解L=x e= de= dv 9 xe dx=xe-2 xe dx 王1《再次使用分部积分法)=x,c=h =x2e2-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幕函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为a,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 上页

例2 求积分 . 2  x e d x x 解 , 2 u = x e d x d e d v, x x = =  x e d x 2 x  = x e − x e d x x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u= x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

王例3求积分∫ rarctan xdx. 2 x2x2 解令u= arctan x,xlx=d=h 2 2 x arctan xdr=arctan x 2 d(arctan x) 2 x21 =— arctan x 2 21+x 2 工工工 =arctanx-(1- Dax 2 2 1+x2 arctan x-(x-arctan x)+ce 2 2 上页

例3 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u = arctan x, dv x xdx = d = 2 2  x arctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x  = − d x x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = −   d x x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = −  −  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +

士 例4求积分∫xmxb 解=lnx,x3bx=d=lv, 1-41 x In xdx=x Inx-xdx x+C 16 中总结L若被积函数是幂函数和对数函数或幂 9 数或反三角函数为 上页

例4 求积分 ln . 3  x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 d v x x d x = d =  x ln xdx 3  = x x − x d x 4 3 4 1 ln 4 1 . 1 6 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u

例5求积分∫sim(mx)dx 解jsm(mx)x= e sin(n x')-∫xdim(mx) xsin(n x)-xcos (n x). dx x sin(n x)=xcos(n x)+xdlcos(n x)I x[sin(n x)-cos(n x)1-sin(n x)dx ∴「sin(nx)dx=|sin(nx)-cos(nx)+C 2 上页

例5 求积分 sin(ln ) .  x d x 解  sin(ln x)d x  = x sin(ln x) − x d[sin(ln x)]  = −  d x x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln )  = x sin(ln x) − x cos(ln x) + x d[cos(ln x)]  = x[sin(ln x) − cos(ln x)] − sin(ln x)d x   sin(ln x)d x [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +

例6求积分∫ e sin xdx 解∫ e sin rax= sin xde e sinx-e d(sin x) e sin x-le cos xdx=e sinx-Icosxde e sin x(e cosx-e d cos x) =eimx-cosx)-∫ x e sinar 注意循环形式 x e sin xdx=(sin x-cos x)+C. 2 上页

例6 求积分 sin .  e xdx x 解  e xdx x sin  = x sin xde  = e sin x − e d (sin x) x x  = e x − e xdx x x sin cos  = − x x e sin x cos xde  = e sin x − (e cos x − e d cos x) x x x  = e x − x − e xdx x x (sin cos ) sin   e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式

x arctan x 例7求积分 x。 1+x 解(1+x2 )=1 2 arctan x 1+x2d arctan xd√1+x 2 =√1+x2 arctan x-|√1+x2 d (arctan x) =1+x2 arctan-∫1+x2 dr 1+x 上页

例7 求积分  + . 1 arctan 2 d x x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + =   +  +  d x x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan x d 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + d x x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +  

1 =√1+x2 arctan x d 2 令x=tant -dx 1+x 2 a sec tdt=sec tdt 1+ tan t In(sec t+ tant)+C=In(x+v1+x2)+C rarctan x 2 2 1+x arctan x-In(x+v1+x)+C 上页

d x x x x  + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x  + 2 1 1  + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1  = sec tdt = ln(sec t + tan t) + C = ln( x + 1 + x ) + C 2  +  d x x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C