《数学分析》课程教学资源（讲稿）第十七章 含参变量的积分

Ch17含参变量的积分 计划课时:2时 P225232 2005.09.26. Ch17含参变量的积分(2时) 含参积分:以实例2xd和∫2xb引入 定义含参积分1(x)=[f(x,y)和G(x)=[mf(x,y)h n1(x) 含参积分提供了表达函数的又一手段我们称由含参积分表达的函数为含参积分 含参积分的连续性 Th1若函数∫(x,y)在矩形域D=[a,b]×[c,d]上连续,则函数 x)=(x,y在,上连续 (证) Th2若函数∫(x,y)在矩形域D=[a,b]×[c,d]上连续,函数y(x)和 y2(x)在a,b]上连续,则函数G(x)=(x,y)在a,b]上连续 2.含参积分的可微性及其应用 Ih3若函数∫(x,y)及其偏导数∫x都在矩形域D=[a,b]×x[c,d]上连续,则 函数(x)=f(xy)在a,b]上可导,且 ar(x, y)dy=/(x,y)dy (即积分和求导次序可换).(证) Th4设函数∫(x,y)及其偏导数∫都在矩形域D=[a,b]×[c,d]上连续,函 数y1(x)和y2(x)定义在[a,b],值域在[c,d]上,且可微,则含参积分 G(x)=f(x,y)b在a,b]上可微,且 G(x)=m1(xy)y+(y2(x)(x)-f(x,y(x)(x).(证) y1(x) 例1计算积分I= n(1+x) 1+ 例2设函数f(x)在点x=0的某邻域内连续.验证当|x|充分小时,函数

Ch 17 含参变量的积分 计划课时：2 时 P 225—232 2005. 09 .26. Ch 17 含参变量的积分 ( 2 时 ) 含参积分: 以实例 和 引入. ∫ 1 0 2xydy ∫ 2 2 2 x x xydy 定义含参积分 和 . ∫ = d c ),()( dyyxfxI ∫ = )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th 1 若函数 yxf ),( 在矩形域 = × dcbaD ] , [ ] , [ 上连续 , 则函数 在 上连续 . ( 证 ) ∫ = d c ),()( dyyxfxI ba ] , [ Th 2 若函数 yxf ),( 在矩形域 = × dcbaD ] , [ ] , [ 上连续, 函数 和 在 上连续 , 则函数 在 上连续. )(1 xy )( 2 xy ba ] , [ ∫ = )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG ba ] , [ 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 3 若函数 及其偏导数 都在矩形域 yxf ),( x f = × dcbaD ] , [ ] , [ 上连续, 则 函数 = ∫ 在 上可导 , 且 d c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ∫ ∫ = d c d c x dyyxfdyyxf dx d ),(),( . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) Th 4 设函数 及其偏导数 都在矩形域 yxf ),( x f = × dcbaD ] , [ ] , [ 上连续, 函 数 和 定义在 1 xy )( 2 xy )( ba ] , [ , 值域在 上 dc ] , [ , 且可微 , 则含参积分 = ∫ 在 上可微 , 且 )( )( 2 1 ),()( xy xy dyyxfxG ba ] , [ ( ) () )()(,)()(,),()( . ( 证 ) 22 11 )( )( 2 1 xyxyxfxyxyxfdyyxfxG xy xy x ′ = + ′ − ′ ∫ 例 1 计算积分 dx x x I ∫ + + = 1 0 2 1 )1ln( . 例 2 设函数 在点 xf )( x = 0的某邻域内连续 . 验证当 充分小时 x || , 函数

)=(-b(x=o 的n-1阶导数存在,且p(x)=f(x) 237

∫ − − − = x n dttftx n x 0 1 )()( )!1( 1 φ )( 的 阶导数存在 n −1 , 且 )()( . )( xfx n φ = 237