《高等数学》课程教学资源：第十章 曲线积分与曲面积分

《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 第十章曲线积分与曲面积分 、教学目标及基本要求 1、理解二类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握( Green)公式,会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯( Grass)公式和斯托克斯( Stokes)公式并 会计算两类曲面积分 5、了解通量,散度,旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如曲面面积、弧长、质量 重心、转动惯量、功、流量等)。 、教学内容及学时分配 第一节对弧长的曲线积分 2学时 第二节对坐标的曲线积分 2学时 第三节格林公式及其应用 4学时 第四节对面积的曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 2学时 第六节高斯公式通量与散度 2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学 三、教学内容的重点及难点: 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10-1131页:3(单数)、4、5 第二节习题10-2141页:3(单数)、4、5、7(单数) 第三节习题10-3153页:1、2、3、4(单数)、5(单数)6(单数)、7 第四节习题10-4158页:4、5、6(单数)、7、8 第五节习题10-5167页:3(单数)、4 第六节习题10-6174页:1(单数)、2(单数)、3(单数) 第七节习题10-7183页:1(单数)、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质,然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 1、引例:求曲线形构件的质量 第十章曲线积分与曲面积分第1页共5页

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十章 曲线积分与曲面积分第 1 页 共 5 页 第十章 曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并 会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、 重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节 对弧长的曲线积分 2 学时 第二节 对坐标的曲线积分 2 学时 第三节 格林公式及其应用 4 学时 第四节 对面积的曲面积分 2 学时 第五节 对坐标的曲面积分 2 学时 第六节 高斯公式 通量与散度 2 学时 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2 学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节 习题 10—1 131 页：3（单数）、4、5 第二节 习题 10-2 141 页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节 习题 10-3 153 页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节 习题 10-4 158 页：4、5、6（单数）、7、8 第五节 习题 10-5 167 页：3（单数）、4 第六节 习题 10-6 174 页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节 习题 10-7 183 页：1（单数）、2、3、4 第一节 对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、「f(xy)ds为第一类曲线积分,其中r为曲线,被积函数(xy)中的点(xy)位于 曲线r上,即(xy2)必须满足对应的方程,=如2+的2+2是弧微分、弧长元素 若r是封闭曲线,则第一类曲线积分记为f(xy,=)ds 3、第一类曲线积分的应用 1)、曲线r的长sds 2)、若空间曲线形物体的线密度为f(x,y2),(xy,2)∈,则其质量M=f( x,v,2ds xf(x, y, =)ds (x, y, =)ds f(x,y,=)ds 质心坐标为(x,j,),其中x 对x轴的转动惯量k=(2+=2)(xyk 4、第一类曲线积分的计算方法: =x(1) 若空间曲线r参数方程为:{y=10),a≤1≤B,则d=√x(2+1y(o2+(o)2d fr f(x,, a)ds=[/(x(0), y (O) ()Vix(+[y(2+[=(dt 例1计算(x2+y2+=2),其中r:x=c,y=sm,==1,0s1≤2x t+sin2t+2=1+r2, ds=ve-sint)+(cost)2+1dt 所以「(x2+y2+2)=(+22h=√2(2x+。2) 例2中y1d,其中r为球面x2+y2+2=2与平面x=y的交线; 解r的参数方程为x=y=c0st:=√2smn,0≤ts2x,d=x2+y2+2d=√h,根据 对称性得到』|y|.k=42od=42 例3计算(x2+y2+=2)d,其中F:x2+y2=a2 t r: y=asin, 05ts2T, ds=Vx(o+[v02+ dt =Va(sin t+ cos D)dt =adt (x2+y2+2)ds=[(a2+l)adt=2ma(a2+1) 或解:被积函数x2+y2+2中的点(xy,)位于曲线I上,即(x,y-)必须满足T对应的方程, 所以x2+y2+2=a2+1,「(x2+y2+=2)s=(a2+1)d-=(2+1小rd=2ma2+ 教学要求和注意点 1、理解对弧长的曲线积分的概念,了解对弧长的曲线积分的性质 2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法 3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关,化弧长的曲线积分为定积分时,定积分 的上限不能比下限小 第二节对坐标的曲线积分 内容要点 第十章曲线积分与曲面积分第2页共5页

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十章 曲线积分与曲面积分第 2 页 共 5 页 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、 f (x, y,z)d s  为第一类曲线积分，其中  为曲线，被积函数 f (x, y,z) 中的点 (x, y,z) 位于 曲线  上，即 (x, y,z) 必须满足  对应的方程， 2 2 2 ds = dx + dy + dz 是弧微分、弧长元素。 若  是封闭曲线，则第一类曲线积分记为 f (x, y,z)d s  3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线  的长 s= d s  2）、若空间曲线形物体的线密度为 f (x, y,z)，(x, y,z)   ，则其质量 M f (x, y,z)ds  = ; 质心坐标为 (x, y,z) ，其中 M zf x y z ds z M yf x y z ds y M xf x y z ds x ( , , ) , ( , , ) , ( , , )       = = = ; 对 x 轴的转动惯量 Ix ( y z ) f (x, y,z)ds 2 2 = +  4、第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线  参数方程为：      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t ，  t   ，则 ds x t y t z t dt 2 2 2 = [ '( )] +[ '( )] +[ '( )] ， f (x, y,z)d s  =    f (x(t), y(t),z(t)) [x'(t)] [y'(t)] [z'(t)] dt 2 2 2 + + 。 例 1 计算  (x y z )ds 2 2 2 + + ，其中  ： x = cost ， y = sint ， z = t ，0  t  2 解 因为 2 2 2 x + y + z = 2 2 2 cos t + sin t + t = 2 1+ t ， ds ( sint) (cost) 1dt 2dt 2 2 = − + + = , 所以  (x y z )ds 2 2 2 + + ) 3 8 (1 ) 2 2(2 3 2 2 0    = + = +  t dt 例 2  | y | ds ，其中  为球面 2 2 2 2 x + y + z = 与平面 x = y 的交线； 解  的参数方程为 x = y = cost,z = 2 sint ， 0  t  2 ，ds x' y' z' dt 2dt 2 2 2 = + + = ，根据 对称性得到 L | y | ds = 4 2 2 cos d 4 2 0 =  t t  例 3 计算  (x y z )ds 2 2 2 + + ，其中  :     = + = 1 2 2 2 z x y a (a  0) 解  :      = = = 1 sin cos z y a t x a t , 0  t  2 , ds x t y t z t dt 2 2 2 = [ '( )] +[ '( )] +[ '( )] = a (sin t + cos t)dt = adt 2 2 2   (x y z )ds 2 2 2 + + ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 0 = + = +  a adt a a  或解：被积函数 2 2 2 x + y + z 中的点 (x, y,z) 位于曲线  上，即 (x, y,z) 必须满足  对应的方程 ， 所以 1 2 2 2 2 x + y + z = a + ，  (x y z )ds 2 2 2 + + =  (a 1)ds 2 + =  ( +1)  = 2 ( +1) 2 2 a ds a a 二、教学要求和注意点 1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质 2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法 3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分 的上限不能比下限小。 第二节 对坐标的曲线积分 一、内容要点

《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 引例:变力沿曲线所作的功 由例子引入对坐标的曲线积分的定义,给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分 化为定积分的计算方法,并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法,最后举例 巩固计算方法的掌握 、∫P(xy,=)+Qxy2+R(xy,=为第二类曲线积分,其中是一条定向曲线 F=(P(x,y,),Qx,y,E),R(x,y,z)为向量值函数,dr=(dr,dy,d)为定向弧长元素(有向曲线元) 若曲线r的参数方程为:{y=y(0),则 切向量=(x()y(,=(1),单位切向量e2=(cosa, cos B, cosy) 弧长元素d=x()2+y()2+(n2dmr 定向弧长元素dr=(x,d,d)=(x(t)h,y()t,()d)=(x(),y(n,=(1)k x() x2+y(2+:092Vx02+y(0+002+y0)+ ∫P(xy,)+x:20+Rxy:)k=「F·dr=F·d =[(x, y, =)cosa+@(x, y, )cos B+R(x, y, )co Hds=[P(3, %,3) 0+g(, y,a)y(+ R(X, y,2)=)ds 上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。 例1把第二类曲线积分』Pxy+(xy,)+R(x,y)化成第一类曲线积分,其中r为 从点(00到点(22的直线段。 解方向向量F=( ,其方向余弦cosa=,cosB=,cosy 原式=IP(x,y,)coa+x,y,2)cosB+Rxy,=) cords P(x,y, =)+O(x,y, =)+V2R(x, y, = 例2把第二类曲线积分P(x,y+Qxy)化成第一类曲线积分,其中L为 从点(00沿上半圆周x2+y2=2x到点(L1) 解L的参数方程为 x:0→1,切向量z=(x,y)=(1 其方向余弦cs=√2x-x2,cosB=1-x 「Px,y)+x,y)b=JPx+xpsh=J2x-xPxy)+0-xy 二、第二类曲线积分的应用 若一质点从点A沿光滑曲线(或分断光滑曲线)r移动到点B,在移动过程中,这质 点受到力F=P(x,y,=)+(x,y,=)+R(xy,=)k,则该力所作的功 W-J F. dr=j. P(x, 3. a)d +@(x, y, ) dy+R(x,y i)d: 三、第二类曲线积分的计算方法: x(1) 、若空间定向曲线的参数方程{y=y()t:a→b,则 z=(1) 第十章曲线积分与曲面积分第3页共5页

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十章 曲线积分与曲面积分第 3 页 共 5 页 引例：变力沿曲线所作的功 由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分 化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例 巩固计算方法的掌握。 一、  P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz 为第二类曲线积分，其中  是一条定向曲线， F = (P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z))  为向量值函数， d r =  (dx,dy,dz) 为定向弧长元素（有向曲线元） 若曲线  的参数方程为：      = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t ，则 切向量  = (x'(t), y'(t),z'(t))  ，单位切向量 (cos,cos,cos ) e =  弧长元素 ds = x t y t z t dt 2 2 2 '( ) + '( ) + '( ) 定向弧长元素 d r =  (dx,dy,dz) = (x'(t)dt, y'(t)dt,z'(t)dt) = (x'(t), y'(t),z'(t))dt d s x t y t z t z t x t y t z t y t x t y t z t x t ) '( ) '( ) '( ) ( ) , '( ) '( ) '( ) '( ) , '( ) '( ) '( ) '( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + +  + + + + = = ds e ds      (cos ,cos ,cos ) =  P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz = •  F  d r  = •  F  e ds   = P x y z Q x y z R x y z ds  [ ( , , ) cos + ( , , ) cos + ( , , ) cos ] = ds x t y t z t P x y z x t Q x y z y t R x y z z t  + +  +  +  2 2 2 '( ) '( ) '( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。 例1 把第二类曲线积分  P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz 化成第一类曲线积分，其中  为 从点 (0,0,0) 到点 ,1) 2 2 , 2 2 ( 的直线段。 解 方向向量  =  ,1) 2 2 , 2 2 ( ，其方向余弦 2 2 ,cos 2 1 ,cos 2 1 cos =  =  = ， 原式= P x y z Q x y z R x y z ds  [ ( , , ) cos + ( , , ) cos + ( , , ) cos ] = ds P x y z Q x y z R x y z  + + 2 ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) 例 2.把第二类曲线积分  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 化成第一类曲线积分，其中 L 为 从点 (0,0) 沿上半圆周 x y 2x 2 2 + = 到点 (1,1) 解 L 的参数方程为 : 0 1 2 2 →     = − = x y x x x x ，切向量  = (x' , y')  ) 2 1 (1, 2 x x x − − = 其方向余弦 2 cos = 2x − x ， cos =1− x，  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = P x y Q x y ds L [ ( , ) cos + ( , ) cos ] = x x P x y x Q x y ds L [ 2 − ( , ) + (1− ) ( , )] 2 。 二、第二类曲线积分的应用： 若一质点从点 A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）  移动到点 B，在移动过程中，这质 点受到力 F P x y z i Q x y z j R x y z k     = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) ，则该力所作的功 W= •  F  d r  =  P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz 三、第二类曲线积分的计算方法： 1、若空间定向曲线  的参数方程 t a b z z t y y t x x t →      = = = : ( ) ( ) ( ) ，则

《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 P(x, y, =)dx+o(x,y, =)dy+ R(x,y [Px(t)y(t),-(t)x(t)+Q(x(t),y()-(1)y(t)+R(x(1)y(t),(1)(n)dt 2、若平面定向曲线L的参数方程:{=0)t:a→b,则 y=y(r P(x,y)dx+g(x,y)dy=P(x(),y(r)x()+Q(x(),y()y() 例1计算∫x z,其中r为曲线x=kO sn上从O=0到O=x的 段弧 解∫x+功-m=b1k2-a2smn20- -a coselde-k-ar 例2计算曲线积分5(=-ydx+(x=)dy+(x-y)d=,其中C是曲线 +y2=1 从z轴正向看去,C取顺时针方向 y+== 分析先写出曲线C的参数方程,可令x=cos日,y=snO,则z=2-cosO+snO,为参数, 由题设,C的起点、终点对应的参数值分别为2和0;在代入计算公式。 解曲线C的参数方程为x=cos,y=sine,z=2-cosO+sinO,b:2→0,于是 原式=(2-cosO-sinO)+(2cos0-2-sinOcosO+(cos-snOcos+sn)jd (2sin0+2cos0-2 cos 20-1)d0=0 、教学要求和注意点 1、二类曲线积分的定义及计算方法,并讲清楚它们的联系和区别。 2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来,并由此得出结果一一可用曲线积 分计算平面图形的面积。 在本章的讲述中,应提醒学生注意: 1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。 2、求曲线型构件的质量转动惯量,长度及重心坐标用对弧长的曲线积分;求变 力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分 第三节格林公式及其应用 内容要点 先介绍单连通域,画图说明然后回忆牛顿—菜布尼兹公式,由此推出格林公式 (书上定理1)并证明。 提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了 举2个例子说明格林公式的用法 再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件 给出149页定理3,并证明,更重点讲151页公式,然后举2个例子说明该公式 的用法。 该堂课讲153页习题3,再由此说明格林公式的条件。 教学要求和注意点 第四节对面积的曲面积分 内容要点 引例:求空间曲面的质量 第十章曲线积分与曲面积分第4页共5页

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十章 曲线积分与曲面积分第 4 页 共 5 页  P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz =  + + b a [P(x(t), y(t),z(t))x'(t) Q(x(t), y(t),z(t)) y'(t) R(x(t), y(t),z(t))z'(t)]dt 2、若平面定向曲线 L 的参数方程： t a b y y t x x t →    = = : ( ) ( ) ，则  + L P(x, y)dx Q(x, y)dy =  + b a [P(x(t), y(t))x'(t) Q(x(t), y(t)) y'(t)]dt 例 1 计算  x dx + zdy − ydz 2 ，其中  为曲线 x = k, y = acos,z = asin 上从  = 0 到  =  的 一段弧。 解  x dx + zdy − ydz 2 =      [k a sin a cos ]d 0 3 2 2 2 2 2  − − =   2 3 3 3 a k − 。 例 2 计算曲线积分  − + − + − c (z y)d x (x z)d y (x y)d z ，其中 C 是曲线     − + = + = 2 1 2 2 x y z x y 从 z 轴正向看去， C 取顺时针方向 分析 先写出曲线 C 的参数方程，可令 x = cos ，y = sin ，则 z = 2 − cos + sin ， 为参数， 由题设， C 的起点、终点对应的参数值分别为 2 和 0；在代入计算公式。 解 曲线 C 的参数方程为 x = cos ， y = sin ， z = 2 − cos + sin ， : 2 → 0 ，于是 原式  = − − + − − + 0 2 [(2 cos )( sin ) (2cos 2 sin )cos       (cos − sin)(cos + sin)]d  = + − −      2 0 (2sin 2cos 2cos2 1)d  = − = −    2 0 0 d 2 ． 二、教学要求和注意点 1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。 2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果——可用曲线积 分计算平面图形的面积。 在本章的讲述中，应提醒学生注意： 1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。 2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变 力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。 第三节 格林公式及其应用 一、内容要点 先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿–––菜布尼兹公式，由此推出格林公式 （书上定理 1）并证明。 提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。 举 2 个例子说明格林公式的用法 再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。 给出 149 页定理 3，并证明，更重点讲 151 页公式，然后举 2 个例子说明该公式 的用法。 该堂课讲 153 页习题 3，再由此说明格林公式的条件。 二、教学要求和注意点 第四节 对面积的曲面积分 一、内容要点 引例：求空间曲面的质量

《高等数学》Ⅱ一Ⅱ备课教案 由例子引进对面积的曲面积分的定义,并给出性质 介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法,该方法可概括为“一代二 换三投影”。 举3个例子提出该积分与二重积分的区别 、教学要求和注意点 了解对面积的面积分的定义,掌握其计算方法 在本章的讲述中,应提醒学生注意: 求空间曲面的质量、转动惯量,曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分; 第五节对坐标的曲面积分 内容要点 先介绍有向曲面 引例:稳定流体在单位时间流过曲面的流量 由例子引入对坐标的曲面积分的定义,给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分 与曲面的侧有关,同时提醒学生注意区别两类曲面积分。 再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法,举2个例子说明该方法。 最后给出两类曲面积分之间的联系。 教学要求和注意点 1、二类曲面积分的定义及计算方法,并讲清楚它们的联系和区别。 2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积 3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。 第六节高斯公式通量与散度 内容要点 提出高斯公式,并证明 指出高斯公式将三重积分与曲面积分联系起来了,再举2个例子说明高斯公式。 简单介绍通量与散度,讲几个习题 教学要求和注意点 曲面积分与三重积分曲高斯公式联系起来,并由此得出结果一一可用曲面积分 计算空间立体的体积。 第七节斯托克斯公式环流量与旋度 内容要点 介绍175页定理1,说明斯托克斯公式将曲线积分与曲面积分联系起来了,讲 178页例1及例2。介绍环流量与旋度,本章小结。 教学要求和注意点 第十章曲线积分与曲面积分第5页共5页

《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案 第十章 曲线积分与曲面积分第 5 页 共 5 页 由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质 介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二 换三投影”。 举 3 个例子提出该积分与二重积分的区别 二、教学要求和注意点 了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法 在本章的讲述中，应提醒学生注意： 求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分； 第五节 对坐标的曲面积分 一、内容要点 先介绍有向曲面 引例：稳定流体在单位时间流过曲面 的流量 由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分 与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。 再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举 2 个例子说明该方法。 最后给出两类曲面积分之间的联系。 二、教学要求和注意点 1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。 2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。 3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。 第六节 高斯公式 通量与散度 一、内容要点 提出高斯公式，并证明 指出高斯公式将三重积分与曲面积分联系起来了，再举 2 个例子说明高斯公式。 简单介绍通量与散度，讲几个习题 二、教学要求和注意点 曲面积分与三重积分曲高斯公式联系起来，并由此得出结果——可用曲面积分 计算空间立体的体积。 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、内容要点 介绍 175 页定理 1，说明斯托克斯公式将曲线积分与曲面积分联系起来了，讲 178 页例 1 及例 2。介绍环流量与旋度，本章小结。 二、教学要求和注意点