《高等数学》课程教学资源：第十章（10.3）格林公式

第三爷 第十章 林公式及其用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章

格林公式 单连通区域(无“洞”区 4区城D分类夢连通区域(有“河区 D 域D边界L的向域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成函数 P(x,y),Qx,y)在D上具有连续一阶偏导数,则有 oo aP dxdy=Pdx+dy(格林公式) oax ay 或 Ox Oy dxdy=o pdx +ody Dp

L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域多连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数,    = +    D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明:1)若D既是X-型区域,又是y-型区域,且 :/ X E a<x<b O.v1(少)≤xsy2(y) B c≤y≤d v2()80 o a bx dx d dx dxdy= dyl Vi(y) ax =LO(2(v),y)dy-O(i(),y)dy cbe g(x,y)ay e O(r, y)dy CAE O(,y)dy+ CBE EAC Q(r, y)dy

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

即 Q(x,y)dy① D ax 同理可证 aP ay P(x, y)d da ④、②两式相加得 00 oP 一JDax0 )dxdy =f, Pdx +od

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域,如图 D OO OP dxd d ax a D ∑∫D oo oP )dxdy k=1 X O x ∑∫ Pdx+9dy(ODk表示D的正向边界) = Pdx+od 证毕

y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2  ( )  =   −   = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d   −     =  = + n k Dk P x Q y 1 d d  = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

0O oP 格林公式!ax-0y dxdy=p Pdx+ody D L 推论:正向闭曲线L所围区域D的面积 2JLxdy-ydy x x=acos e 例如,椭圆L y= bsin,0≤O≤2所围面R tA= xay=yar 2JL 2丌 2Jo(abcos 0+absin 8)do=t ab

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 格林公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆     , 0 2 sin cos :      = = y b x a L 所围面积  = +     2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab =  ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明 2xydx+x dy=o 证:令P=2xy,Q=x2,则 =2x-2x=0 Ox a 利用格林公式,得 2xydx+xdy=lodxdy=0 D

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + =  xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2  +  = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2计算1yddy其中D是以0o),() B(0,1)为顶点的三角形闭域 2 解:令P=0,Q=xey,则 oQ aP B(0,1) A(1,1) OrOk D 利用格林公式,有 X 2 e y ddv=「xe-yd X aD e dy OA e

例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, y P Q xe − = = 利用格林公式 , 有  − = D y x e dy 2 x e y OA y d 2  − = ye y y d 1 0 2  − = (1 ) 2 1 −1 = − e y = x o y x A(1,1) B(0,1) D 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3计算∫1-2 y-1 其中L为一无重点且不过原点 x 的分段光滑正向闭曲线 解:令P= Q x +y 2 则当x2+y2≠0时,=y aP 2,,,22 x(x+y 2 ay 设L所围区域为D,当00gD时由格林公式知 xdy-ydx 0 L 1x-+y

例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y o x L 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当(00)∈D时在D内作圆周1:x2+y2=r2,取逆时 针方向记L和所围的区域为D1,对区域D1应用格 林公式,得 y dy- ydx r xdy-ydx 2 x + y x+ y xay- yax Oddy=0 L+2 xty rdy-vax xdy- ydx L、2 2 x t y x t y r 2T r4 cos0+r sin dO=2丌 0 2

    d 2 cos sin 0 2 2 2 2 2  + = r r r = 2 当(0,0)D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x + y = r 取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格  + − − l x y x y y x 2 2 d d  − + + − = L l x y x y y x 2 2 d d 0d d 0 1 = =  x y D L D1 l o y x 记 L 和 l ˉ 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束