重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.8）函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点 一、函数连续性的完义 oo二、函数的间断点 ②0∞

第八节 函数的连续性与间断点 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义

函数连续性的定义 定义:设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,且 imf(x)=f(x0),则称函数f(x)在x0连续 可见,函数∫(x)在点x连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点x有定义,即f(x)存在 (2)极限limf(x)存在 x-x (3)lim f(x)=f(o) ②0∞

一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 在点 0 x 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;

若∫(x)在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上 连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如,P(x)=a0+a1x+…+anx"(有理整函数) 在(-∞,+∞)上连续 又如,有理分式函数R(x)=P(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0,都有imR(x)=R(x) x→>x

( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x   − +  = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →

对自变量的增量Ax=x-x0,有函数的增量 y=∫(x)-f(xo)=f(x0+△x)-f(xo) 函数f(x)在点x连续有下列等价命题 limf(x)=f(x)←1imf(xo+△x)=f(x0) △x->0 lim△y=0 yy=f(x) △x->0 △ ←f(x0)=f(x0)=f(x △v 左连续右连续 0 X x vE>0,36>0,当|x-x0=x|<6时有 Jf(x)-f(x)=△y1<E ②0∞

对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x +  =  → lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续   0,   0, 当 x − x0 = x   时, 有 f (x) − f (x ) = y   0 函数 在点 连续有下列等价命题:

二、函数的间断点 设f(x)在点x的某去心邻域内有定义,则下列情形 之一函数f(x)在点x不连续 (1)函数f(x)在x无定义 2)函数f(x)在x0虽有定义,但mf(x)不存在 x-xo (3)函数f(x)在x虽有定义,且imf(x)存在,但 -xo imf(x)≠f(x0) x->x0 这样的点x0称为间断点 ②0∞

在 二、 函数的间断点 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 无定义 ;

问断点分类 第一类间断点: f(xo)及f(x01)均存在 若f(x0)=f(x0),称x0为可去间断点 若f(x)≠f(x),称x为跳跃间断点 第二类间断点: f(xo)及f(xo)中至少一个不存在, 若其中有一个为∞O,称x0为无穷间断点 若其中有一个为振荡,称x为振荡间断点 ②0∞

间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡 , 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点

例如: y=tanx (y=tan x x=z为其无穷间断点 (2)y=sin VIy=sin x=0为其振荡间断点 (3)y X x=1为可去间断点 ②0∞

例如: 2  x = 为其无穷间断点 . x = 0 为其振荡间断点 . x =1为可去间断点 . o y 1 y = tan x 2  x y o x y x y 1 = sin 0

x,x≠1 (4)y=f(x) 显然limf(x)=1≠f(1) x->1 O x=1为其可去间断点 「x-1,x0 O f(0)=-1,f(0)=1 x=0为其跳跃间断点 ②0∞

lim ( ) 1 (1) 1 f x f x =  → 显然 x =1 为其可去间断点 .    =  = = , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x o 1 x y 2 1 1 (5)     +  = −  = = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y o 1 −1 (0 ) = −1, − f (0 ) =1 + f x = 0 为其跳跃间断点

内容小结 1.f(x)在点x连续的等价形式 im f(x)=f(xo) lim [f(xo+Ax)-f(ro)]=0 △x->0 f(x0)=f(x0)=f(x 左连续右连续 2.f(x)在点x0间断的类型 可去间断点 第一类间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点左右极限至少有 振荡间断点个不存在

内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式