重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.4）无穷大与无穷小

第四节无穷大与无穷小 法一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 ②0∞

第四节 无穷大与无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小

无穷小 定义、若x→xo(或x→>∞)时,函数f(x)→0, 则称函数f(x或x→>x→x时的无穷小 例如 im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x>1 lim=0,函数当x→∞时为无穷小 =V=0.函数 lim 当x→>-∞时为无穷小 1-x ②0∞

一、 无穷小 当 定义、 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → )

定义1、 若x→>x0(或x->∞)时,函数f(x)→>0,则 则称函数f(x)为x→>x0(或x->0)时的无穷小 说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小! 因为 lim 0 VE>0.彐δ>0 当0<x-x<6时 0|<E

定义1、 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 若 (或 x → ) 则 时的无穷小

定理1(无穷小与函数极限的关系) imnf(x)=Af(x)=A+a,其中a为x→)x x->x0 时的无穷小量 证:imf(x)=A x→x VE>0,36>0,当0<x-x0<时有 f(x)-4|<6 C=f(x)-4 lim a=o x→)x 对自变量的其它变化过程类似可证 ②0∞

定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0(正数X),使对 一切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M 则称函数f(x)当x→x0(x->)时为无穷大,记作 limf(x)=∞.(limf(x)=∞) 若在定义中将①式改为f(x)>M((x)x (x-> x→>0)

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在

例、证明1im x→1x-1 证:任给正数M,要使 M,即x-1 M 只要取δ=,,则对满足0M X 所以lim x→1x-1 说明:若1imf(x)=∞,则直线x=x0 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 渐近线 ②0∞

例 、证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 说明: 渐近线

无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中 若f(x)为无穷大,则为无穷小 f(x) 若f(x)为无穷小且f(x)≠0,则1 为无穷大 f∫( 说明:据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 ②0∞

无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明:

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 3无穷小与无穷大的关系 ②0∞

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系