重庆大学：《高等数学》第一章 函数与极限（1.3）函数的极限

第三节函数的极限 一、数列极限的定义 收敛数列的性质 ②0∞

第三节 函数的极限 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质

函数极限的定义 (一)自变量趋于有限值时函数的极限 定义.设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若vE>0,38>0,当0x时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(当x→>x 即1imf(x)=AVE>0,3>0,当x∈∪(x0,o) x->x0 时有f(x)-A<6 ②0∞

一、函数极限的定义 （一）自变量趋于有限值时函数的极限 定义 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,   0,   0, 当 0  x − x0   时, 有 f (x) − A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作

几何解释: A+ zf( E δxox+6 这表明 极限存在 →>函数局部有界 (P35定理2) ②0∞

几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 (P35定理2) 这表明:

例1 证明mC=C(C为常数) 让: f(x)-A=C-C|=0 故vE>0,对任意的δ>0,当0<x-x0<8时, 总有 C-C|=0<E 因此 lim c=c ②0∞

例1、 证明 证: f (x) − A 故   0, 对任意的   0, 当 时 , 因此 总有

例2 证明1im(2x-1)=1 证:‖f(x)-A|=(2x-1)-1=2x-1 >0,欲使f()-4<6,只要x-1<2 取δ=5,则当0<x-1<时,必有 f(x)-A|=(2x-1)-1<6 因此 lim(2x-1)=1 x-1 ②0∞

例2、 证明 证: = 2 x −1   0, 欲使 取 , 2   = 则当 0  x −1   时 , 必有 因此 只要

例3 证明m1x-1 证:f(x)-A x-1 x+1-2|=|x-1 故∨E>0,取δ=E,当0<x-1时,必有 2<E 因此 2 x→1x-1 ②0∞

例3、 证明 证: f (x) − A 故   0, 取  =  , 当 时 , 必有 −   − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x

例4、证明:当x>0时i√x=√xo x-r 证:|f(x)-4|=x-√x x+、/x E>0,欲使f(x)-A|<,只要x-x0<x,且 x≥0.而x≥0可用x-xo≤x保证故取 δ=min{xe,xo},则当0<x-x0<δ时,必有 √x 0<E 因此 lim√x=√xo

例4、 证明: 当 证: 0 0 1 x x x  −   0, 欲使 且 而 可用 因此 只要 0 0 lim x x x x = → 时 故取 min , , 0 0  = x  x 则当 0  x − x0   时, 保证 . 必有 o x 0 x x

左极限与右极限 左极限:f(x)=limf(x)=A x->x0 VE>0,3>0,当x∈(x-6,x0) 时有(x)-4|0,3>0,当x∈(x0,x0+6) 时有(x)-4|Xo x→)x x→

左极限与右极限 左极限 : = − ( ) 0 f x f x A x x = → − lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) 0 0 x x − x 时, 有 右极限 : = + ( ) 0 f x f x A x x = → + lim ( ) 0   0,   0, 当 ( , ) x x0 x0 + 时, 有 定理 3 . f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0

(二)自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2.设函数f(x)当x大于某一正数时有定义,若 VE>0,3X>0,当x>X时,有f(x)-AA(当x->∞) 几何解释: A+8 y=f(x) K入大 O 直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线 ②0∞

（二）自变量趋于无穷大时函数的极限 − X X A+  A− o x y y = f (x) A 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 X  0, 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线   0, A 为函数

例6证明 Im 0 x→>0x y : 0 XX 故∨6>0,欲使-0X时,就有 000x 注:y=0为y=的水平渐近线 ②0∞

例6 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1  X = 因此 注: 就有 故   0, 欲使 即 o x y x y 1 =